Nos exercícios 13 a 16 verifique que a equação é de variáveis separáveis e resolva-a.

13 .   x ln ⁡ y y ' = y

Passo 1

Bom, para ser de variáveis separáveis, a gente precisa conseguir escrever aquela EDO da seguinte forma:

y ' = f x g ( y )

Ou seja, como um produto de funções de x e y . Vamos tentar?

y ' = 1 x y ln ⁡ y

Olha só! Conseguimos. Então é sim de variáveis separáveis.

Passo 2

Vamos agora resolver essa EDO. Primeiro, escreva dessa forma:

d y d x = 1 x y ln ⁡ y

ln ⁡ y y d y = 1 x d x

Integrando em ambos os lados:

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ 1 x d x

Bora resolver cada uma delas e depois voltamos pra essa igualdade, ok?

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + E

Para resolver a próxima integral, vamos usar uma substituição do tipo u = ln ⁡ y → d u = 1 y d y

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ u d u

∫ u d u = u 2 2 + D

Voltando pra nossa variável:

u 2 2 + D = ln ⁡ y 2 2 + D

Passo 3

Voltando pra nossa igualdade:

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ 1 x d x

ln ⁡ y 2 2 + D = ln ⁡ x + E

ln ⁡ y 2 = 2 ln ⁡ x + C

ln ⁡ y 2 = ln ⁡ C x 2

ln ⁡ y = ± ln ⁡ C x 2

y = e ± ln ⁡ C x 2

Tanto uma, quanto a outra solução são válidas.

Resposta

13 .   y = e ln ⁡ C x 2 ou y = e - ln ⁡ C x 2  

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du