Marque a alternativa que contenha a solução geral da equação diferencial separável

d y d x = 2 x   1 - y 2

  1. y = s e n 2 x + c  
  2. y = s e n ( 2 x + c )  
  3. y = s e n ( x 2 + c )
  4. y = s e n x 2 + c

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos disse que essa é uma equação diferencial separável, então isso significa que podemos separar as variáveis da equação!

Ou seja, podemos colocar tudo que depende apenas de uma variável para um lado e tudo que dependa outra pro outro. Dessa forma, tem um teorema que nos diz que podemos integrar dos dois lados sem problemas. Mas só quando for separável, ok? Só quando tivermos de um lado só coisas com x e do outro lado tudo com y . Aí é só integrar dos dois lados!

Tranquilo?

Pra deixar bem organizadinho pra você, vou escrever um passo a passo. A ideia aqui é resolver a equação diferencial da seguinte forma:

  1. passar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro;
  2. integrar de um lado e depois do outro (pra ficar mais organizado, um lado de cada vez)
  3. juntar as respostas (não esquecer de colocar + C no final! Esse não é um problema de valor inicial!)
  4. e isolar o y

E é isso! Vamos lá?

Passo 2

A equação diferencial:

d y d x = 2 x   1 - y 2

Pra ter tudo em x de um lado, vou passar o d x multiplicando, e 1 - y 2 dividindo:

d y 1 - y 2 = 2 x   d x

Pronto! Ficamos com funções só de y de um lado e só de x do outro! Agora é partir pra integração!

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

Passo 3

Começando com a integral em x :

∫ 2 x   d x

Como é uma potência normal, é só integrar mesmo

2 x 2 2 = x 2

Belezinha?

Passo 4

Agora vamos integrar em y . Do lado direito temos:

∫ d y 1 - y 2

Vou usar como substituição trigonométrica, porque temos 1 a 2 - y 2 no integrando!

Lembrando da relação fundamental

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Podemos isolar cos 2 ⁡ θ :

cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Nesse caso vou chamar y = s e n θ e d y = c o s θ d θ , e também a 2 = 1 . Assim o integrando fica:

∫ c o s θ d θ 1 - sen 2 ⁡ θ = ∫ c o s θ   d θ cos 2 ⁡ θ = ∫ 1   d θ = θ = s e n - 1 ( y )

Passo 5

Agora que integramos dos 2 lados, vamos juntar as duas respostas! A gente tinha:

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

E com as respostas dos passos anteriores temos:

s e n - 1 ( y ) = x 2

E NÃO ESQUECER DE COLCOAR O + C NO FINAL! Aqui a gente pode colocar de um lado só.

s e n - 1 y = x 2 + c

E agora vamos isolar o y :

y = s e n ( x 2 + c )

Pronto! É essa nossa solução!

E a alternativa correta é a (c)

Beleza?

Resposta

(c)

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