Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

b )   3 1 + y 3 + 2 x 2 y 2 y ' = 0

Passo 1

Essa daí está com muita cara de separação de variáveis:

3 1 + y 3 + 2 x 2 y 2 y ' = 0   →

2 x 2 y 2 y ' = - 3 1 + y 3     →

Jogando esse y 2 para o outro lado pra deixar um lado só com y :

2 x 2 y ' = - 3 1 + y 3 y 2

Lembrando agora que y ' = d y / d x ...

2 x 2 d y d x = - 3 1 + y 3 y 2       →

Portanto, separando as variáveis:

d y - 3 1 + y 3 y 2 = d x 2 x 2       →

- 1 3 y 2 1 + y 3 d y = d x 2 x 2    

Passo 2

Então integrando esses dois lados:

∫ - 1 3 y 2 1 + y 3 d y = ∫ d x 2 x 2

Então vamos calcular cada uma dessas duas integrais!

Passo 3

∫ - 1 3 y 2 1 + y 3 d y = - 1 3 ∫ y 2 1 + y 3 d y

Fazendo uma mudança de variável:

1 + y 3 = t

d t = 3 y 2 d y         o u             y 2 d y = d t 3

Então:

- 1 3 ∫ y 2 1 + y 3 d y = - 1 3 ∫ 1 t d t 3 =

- 1 9 ln ⁡ t = - 1 9 ln ⁡ 1 + y 3 + c 1

Passo 4

Calculando a outra integral

∫ d x 2 x 2 = - 1 2 x + c 2

Passo 5

Então:

∫ - 1 3 y 2 1 + y 3 d y = ∫ d x 2 x 2     →

- 1 9 ln ⁡ 1 + y 3 + c 1 = - 1 2 x + c 2     →

- 1 9 ln ⁡ 1 + y 3 = - 1 2 x + C

Resposta

- 1 9 ln ⁡ 1 + y 3 = - 1 2 x + C

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