Exercícios Resolvidos de EDO Separável

UNICAMP, Cálculo 3, P1 2011 Noturno-Modificada

  1. Mostre que a equação
  2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  3. Resolva a mesma

Passo 1

a)

Vamos começar vendo se essa EDO é separável mesmo, para isso temos que isolar d y d x e ver se d y d x vai ser o produto de uma função só de x com uma função só de y .

x d y d x = 1 y - y

d y d x = 1 y - y 1 x

E acabamos de ver que ele realmente é, então essa equação é separável.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

d y 1 y - y = 1 x d x

Agora vamos integrar dos dois lados

d y 1 y - y = 1 x d x

Sabemos fazer de boa a integral do lado direito, que vai ficar

1 x d x = ln x + C

Dessa forma,

d y 1 y - y = ln x + C

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

Passo 3

d y 1 y - y

Vamos começar dando uma arrumada nisso

d y 1 y - y = d y 1 - y 2 y = y d y 1 - y 2

Vamos resolver fazendo

1 - y 2 = u

d u = - 2 y d y y d y = - 1 2 d u

Colocando isso na integral

y d y 1 - y 2 = - 1 2 d u u

Resolvendo a integral vamos ter

- 1 2 d u u = - 1 2 ln u

Voltando para y

- 1 2 ln 1 - y 2

Passo 4

Voltando para nossa integral vamos ter

- 1 2 ln 1 - y 2 = ln x + C

Agora temos que isolar o y

ln 1 - y 2 = - 2 ln x - 2 C

Lembrando de uma propriedade de logaritmo que fala

a ln x = ln x a

Vamos ter

ln 1 - y 2 = ln x - 2 - 2 C

Como x - 2 é sempre positivo temos

ln 1 - y 2 = ln x - 2 - 2 C

1 - y 2 = e ln x - 2 - 2 C

1 - y 2 = e ln x - 2 e - 2 C

1 - y 2 = x - 2 e - 2 C

Podemos fazer e - 2 C sendo K , então

1 - y 2 = x - 2 K

Então temos

1 - y 2 = ± K x - 2

y 2 = 1 K x - 2

Podemos fazer K = C 1

Assim vamos ter

y 2 - 1 = C 1 x - 2

Resposta

b)

y 2 - 1 = C 1 x - 2

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