1. Encontre a solução de forma explicita do problema de valor inicial
  2. y ' = x x 2 + 1 y 3

    y 1 = 2

  3. Mostre que a solução é única. Usando o conhecimento da Matéria, responda:

Para que valores de x 0 , y 0 podemos garantir que a solução existe e é única, substituindo a condição inicial y 1 = 2 por y x 0 = y 0 ? (Não esqueça de justificar, com a teoria vista).

Passo 1

a)

Essa equação é separável, isso porque temos a derivada de y sendo o produto de uma função só de x com uma função só de y . Então vamos resolver essa EDO. Vamos começar trocando y ' por d y d x

d y d x = x x 2 + 1 y 3

Passo 2

Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

y 3 d y = x x 2 + 1 d x

Agora vamos integrar dos dois lados

∫ y 3 d y = ∫ x x 2 + 1 d x

∫ y 3 d y = ∫ x 3 + x d x

AS integrais vão ficar

y 4 4 = x 4 4 + x 2 2 + C

Passo 3

Agora temos que isolar o y

y 4 4 = x 4 4 + x 2 2 + C

y 4 = 4 x 4 4 + 4 x 2 2 + 4 C

y 4 = x 4 + 2 x 2 + 4 C

Podemos fazer 4 C sendo K , então

y 4 = x 4 + 2 x 2 + K

Passo 4

Vamos ao valor inicial agora, temos

y 1 = 2

Então

2 4 = 1 4 + 2 . 1 2 + K

16 = 1 + 2 + K

K = 16 - 3

K = 13

Então nossa solução vai ser

y 4 = x 4 + 2 x 2 + 13

Podemos isolar o y

y = ± x 4 + 2 x 2 + 13 4

Mas como temos y 1 = 2 > 0 vamos pegar só o cara positivo

y = x 4 + 2 x 2 + 13 4

Passo 5

b)

Para garantimos que a solução é única vamos dar um look rapidinho no teorema da existência e unicidade.

Não vimos o teorema da existência e unicidade na teoria, vamos enuncia-lo aqui

Dada uma função f x , y tal que ela é continua em um retângulo R aberto a < x < b ; c < y < d , com f y também contínua em R . Então, dado um ponto x 0 , y 0 de R , temos que a equação diferencial

y ' = f x , y ,     y x 0 = y 0

Tem uma única solução definida em algum intervalo aberto contendo x 0 ,

Beleza, basicamente esse teorema garante que o PVI tem solução se aquela função f x , y é continua em um intervalo de x e y e a derivada em relação a y dessa f também é contínua nesse mesmo intervalo.

Vamos identificar f x , y no nosso caso.

Como

y ' = x x 2 + 1 y 3

Temos

f x , y = x x 2 + 1 y 3

Essa função é contínua em qualquer ponto menos y = 0 , vamos ver a derivada em relação a y

f y = - 3 x x 2 + 1 y 4

Aqui o único ponto de descontinuidade é, de novo, y = 0 , assim pelo teorema da existência e unicidade garantirmos que temos uma única solução da EDO quando pegarmos um ponto x 0 , y 0 ,     y 0 ≠ 0 , porque assim podemos pegar um retângulo R qualquer que não tenha y = 0 para essa função ser contínua.

O nosso ponto é 1,2 então essa solução é única.

Passo 6

Como vimos, podemos garantir solução para qualquer ponto inicial, que seja

x 0 , y 0 ,     y 0 ≠ 0

Resposta

a)

y = x 4 + 2 x 2 + 13 4

b)

Garantimos solução para x 0 , y 0 ,     y 0 ≠ 0

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y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
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Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du