Equações Separáveis e Homogêneas
- Encontre a solução de forma explicita do problema de valor inicial
- Mostre que a solução é única. Usando o conhecimento da Matéria, responda:
Para que valores de , podemos garantir que a solução existe e é única, substituindo a condição inicial por ? (Não esqueça de justificar, com a teoria vista).
Passo 1
a)
Essa equação é separável, isso porque temos a derivada de sendo o produto de uma função só de com uma função só de . Então vamos resolver essa EDO. Vamos começar trocando por
Passo 2
Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com de um lado e tudo com do outro.
Agora vamos integrar dos dois lados
AS integrais vão ficar
Passo 3
Agora temos que isolar o
Podemos fazer sendo , então
Passo 4
Vamos ao valor inicial agora, temos
Então
Então nossa solução vai ser
Podemos isolar o
Mas como temos vamos pegar só o cara positivo
Passo 5
b)
Para garantimos que a solução é única vamos dar um look rapidinho no teorema da existência e unicidade.
Não vimos o teorema da existência e unicidade na teoria, vamos enuncia-lo aqui
Dada uma função tal que ela é continua em um retângulo aberto , com também contínua em . Então, dado um ponto de , temos que a equação diferencial
Tem uma única solução definida em algum intervalo aberto contendo ,
Beleza, basicamente esse teorema garante que o PVI tem solução se aquela função é continua em um intervalo de e e a derivada em relação a dessa também é contínua nesse mesmo intervalo.
Vamos identificar no nosso caso.
Como
Temos
Essa função é contínua em qualquer ponto menos , vamos ver a derivada em relação a
Aqui o único ponto de descontinuidade é, de novo, , assim pelo teorema da existência e unicidade garantirmos que temos uma única solução da EDO quando pegarmos um ponto , porque assim podemos pegar um retângulo qualquer que não tenha para essa função ser contínua.
O nosso ponto é então essa solução é única.
Passo 6
Como vimos, podemos garantir solução para qualquer ponto inicial, que seja
Resposta
a)
b)
Garantimos solução para
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