Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

Passo 1

Vamos lá. A letra a) nos pede para resolvermos um problema de valor inicial. Mas para isto, precisamos resolver a EDO primeiramente.

Então, nosso foco inicial é resolver a EDO

d x d y = 4 1 + x 2

E a gente deve se questionar qual método devemos utilizar. Percebam que, para este caso, temos uma EDO separável. Isto é, conseguimos colocar tudo que envolva x em um membro e tudo que envolva y no outro membro. Portanto,

d x 1 + x 2 4 d y

Integrando, temos:

∫ d x 1 + x 2 = ∫ 4   d y

arctg ⁡ x = 4 y + c

Isolando o y , temos:

y ( x ) = 1 4 ⋅ arctg ⁡ x + c

Passo 2

No final do Passo 1 obtemos uma solução genérica para a EDO. Como queremos resolver um problema de valor inicial, precisamos descobrir qual o valor da constante c .

Para isto, basta utilizarmos a relação y 0 = 1 . Logo,

y 0 = 1

1 4 ⋅ arctg ⁡ 0 + c = 1

c = 1

Portanto, a solução do nosso problema é:

y ( x ) = 1 4 ⋅ arctg ⁡ x + 1

Resposta

y ( x ) = 1 4 ⋅ arctg ⁡ x + 1

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du