Sabendo que após ser coado o café está a 90 o C e, um minuto depois, passa para 85 o C , em uma cozinha a 25 o C . Determine a temperatura do café em função do tempo e o tempo que levará para o café chegar a 60 o C .

Passo 1

Opa! Nesse tipo de problemas a gente usa a lei de resfriamento de Newton. No fundo, a gente vai ter que resolver um problema de valor inicial para essa equação diferencial da temperatura aqui ó:

d T d t = k ( T - T a m b )

Onde T é a temperatura do objeto em função do tempo t e T a m b é a temperatura do ambiente. Esse k aí é uma constante que a gente vai determinar com as condições que o problema nos deu.

Passo 2

A gente pode ver que a EDO aí de cima é uma EDO separável, ou seja, a gente consegue isolar um termo que depende de T e um que depende de t . No fundo a gente passa tudo de T   para um lado e tudo de t para o outro. Assim ó:

d T T - T a m b = k d t

A gente integra os dois lados dessa equação

∫ d T T - T a m b = ∫ k d t

Essas integrais a gente consegue usar as tabelas e obtemos

ln ⁡   T - T a m b = k t + C

Exponenciando os dois lados

e ln ⁡   T - T a m b = e k t + C

Usando que e l n a = a e e a + b = e a e b temos

T - T a m b = e k t e C

Como e C é uma constante qualquer, podemos chamar esse termo de uma outra constante a e tirar aquele módulo ali (o sinal vai ficar dentro dessa constante que a gente tem que encontrar):

T - T a m b = a e k t

Como o enunciado nos fala que a temperatura da cozinha é 25 o C , temos que T a m b = 25 o C e podemos escrever

T t = a e k t + 25

Essa equação é como a temperatura do café varia nesse ambiente. Vamos agora usar as condições para determinar esse a e esse k   aí.

Passo 3

Vamos marcar aqui as informações que a gente tem (os nossos valores iniciais). A primeira delas é que o café possui uma temperatura de 90 o C assim que entra em contato com a cozinha. Ou seja, no nosso tempo inicial temos a temperatura de 90 o C , ou melhor: T 0 = 90 o C

Usando a equação da temperatura que a gente obteve no passo anterior para esse tempo, temos

T 0 = a e k . 0 + 25   = a + 25

Igualando as duas equações temos

a + 25 = 90 → a = 65

Opa! Por enquanto então temos

T t = 65 e k t + 25

Como a gente calcula o k ?

Passo 4

Como o enunciado nos diz um minuto após o café entrar em contato com o ambiente ele passa a ter uma temperatura de 85 o C , podemos usar nossa equação para t = 1 m i n

T 1 = 85 o C

Usando a equação da temperatura que a gente obteve no passo anterior para esse tempo, temos

T 1 = 65 e k + 25

Igualando as duas equações temos

65 e k + 25 = 85 65 e k = 60

e k = 60 65  

Simplificando por 5

e k = 12 13

Tirando o l n dos dois lados:

l n e k = ln ⁡ 12 13

Como l n e c = c , temos

k = ln ⁡ 12 13 ≈   - 0 . 08

Obs: a unidade é de 1 sobre minuto.

Com isso, a equação da temperatura do café é dada por

T t = 65 e - 0 . 08   t + 25

Passo 5

Agora ele nos pede a temperatura do café após 3 minutos. Para isso, é só usar a equação da temperatura que a gente obteve no passo anterior para t = 3 :

T 3 = 65   e - 0 . 08 × 3 + 25 ≈ 76,13 o C

Resposta

T t = 65 e - 0.08   t + 25

T 3 ≈ 76,13 o C

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du