Considere a seguinte equação diferencial:

y ' = x e x y

Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 2 .

Passo 1

Utilizando outra notação para a derivada podemos perceber o seguinte:

y ' = d y d x

d y d x = x e x y

Esta equação diferencial pode ser separada com respeito às variáveis x e y :

y d y = x e x d x

Podemos então integrar ambos os lados da equação:

∫ y d y = ∫ x e x d x

A primeira integral é mais simples:

y 2 2 = ∫ x e x d x

Já a segunda vamos precisar pensar um pouco mais...

Passo 2

Esta integral nova parece uma boa candidata para integração por partes:

∫ x e x d x

Pois sabemos que com essa técnica podemos abaixar o grau do polinômio x e o e x vai continuar sempre a mesma coisa. Aplicando a fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Fazemos:

u = x → d u = d x

d v = e x d x → v = e x

Portanto:

∫ x e x d x = x e x - ∫ e x d x

∫ x e x d x = x e x - e x + C

Passo 3

Voltando ao problema original, temos:

y 2 2 = x e x - e x + C

Sendo que a condição inicial nos diz y 0 = 2 :

y 0 2 2 = 0 × e 0 - e 0 + C

2 2 = C - 1

C = 2

Plugando de volta na expressão da solução:

y 2 2 = e x x - 1 + 2

Podemos então resolver...

Resposta

y x = 2 e x x - 1 + 2

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