Resolva a seguinte equação diferencial:

y ' = ( cos 2 ⁡ x ) ( cos 2 ⁡ 2 y )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Aqui nós temos uma EDO de primeira ordem que de cara dá pra gente ver que pode ser separável, porque temos funções de uma variável em cada c o s . Então, vamos usar o método da separação de variáveis para resolver.

Vamos escrever nossa EDO:

y ' = ( cos 2 ⁡ x ) ( cos 2 ⁡ 2 y )

Que também pode ser escrita na forma:

d y d x = ( cos 2 ⁡ x ) ( cos 2 ⁡ 2 y )

Vamos passar o d x para o lado de lá e o cos 2 ⁡ 2 y para o lado de cá:

d y ( cos 2 ⁡ 2 y ) = ( cos 2 ⁡ x ) d x

Agora é só a gente integrar dos dois lados.

Passo 2

Integrando em ambos os lados:

∫ 1 cos 2 ⁡ 2 y d y = ∫ cos 2 ⁡ x d x

Vamos fazer cada equação separadamente, pra ficar mais fácil. Começando com a do lado esquerdo:

∫ 1 cos 2 ⁡ 2 y d y

Aqui, é importante nós lembrarmos que:

1 cos 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y

Então, substituindo na nossa integral, temos:

∫ 1 cos 2 ⁡ 2 y d y = ∫ sec 2 ⁡ ( 2 y ) d y

E aí, nós vamos usar outra substituição para resolver. Vamos chamar:

u = 2 y

d u = 2 d y → d y = d u 2

Ficamos com:

∫ sec 2 ⁡ ( u ) ∙ 1 2 d u

Jogando a constante para fora da integral:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ ( u ) d u

Essa é uma integral conhecida e tabelada, então temos:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ ( u ) d u = 1 2 [ tan ⁡ u + C 1 ]

Voltando para variável y , temos:

= 1 2 tan ⁡ 2 y + C 1

Passo 3

Na nossa segunda integral, temos:

∫ cos 2 ⁡ x d x

Aqui também vamos usar uma substituição trigonométrica, nesse caso:

cos 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x 2 + 1 2

E aí fica bem mais simples de integrar, olha só:

∫ cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ 2 x 2 + 1 2 d x

= 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ d x

= 1 2 ∙ sin ⁡ 2 x 2 + 1 2 x + C 2

= sin ⁡ 2 x 4 + x 2 + C 2

Encontramos nosso segundo resultado, agora vamos juntar tudo na solução da EDO:

∫ 1 cos 2 ⁡ 2 y d y = ∫ sec 2 ⁡ ( 2 y ) d y

1 2 tan ⁡ 2 y + C 1 = sin ⁡ 2 x 4 + x 2 + C 2

Isolando y e juntando C 1 e C 2 em uma constante só, temos:

tan ⁡ 2 y = 2 ∙ sin ⁡ 2 x 4 + x 2 + C

2 y = arctan ⁡ sin ⁡ 2 x 2 + x + C

y = arctan ⁡ sin ⁡ 2 x 2 + x + C 2

E achamos nossa solução. Valeu, galera! 😉

Resposta

y = arctan ⁡ sin ⁡ 2 x 2 + x + C 2

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du