3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

g) x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0 y 0 = 1

Passo 1

Falaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a equação diferencial separável.

Pra isso vamos lembrar que pra resolver uma equação diferencial separável temos que “separar” tudo que tem uma variável de um lado e tudo que a outra variável do outro lado. Depois disso integramos os dois lados.

Passo 2

Temos:

x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0

Reorganizando os termos:

x 2 + 1 d y d x + y 2 + 1 = 0

x 2 + 1 d y d x = - y 2 + 1

1 1 + y 2 d y = - 1 1 + x 2 d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ 1 1 + y 2 d y = - ∫ 1 1 + x 2 d x

arctan ⁡ y + K 1 = - arctan ⁡ x + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: C = K 2 - K 1

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ x + C

Passo 4

Como temos a condição inicial y 0 = 1 , substituímos na equação e achamos a constante:

arctan ⁡ 1 = - arctan ⁡ 0 + C

π 4 = - 0 + C

C = π 4

Voltando pra equação:

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ x + π 4

y = tan ⁡ - arctan ⁡ x + π 4

Passo 5

Lembrando que:

tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a tan ⁡ b

Então:

y = tan ⁡ - arctan ⁡ x + tan ⁡ π 4 1 - tan ⁡ - arctan ⁡ x tan ⁡ π 4

y = - x + 1 1 - - x 1

y = 1 - x 1 + x

Resposta

y = 1 - x 1 + x

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du