3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

e) x y ' = 2 y - 1

Passo 1

Falaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a equação diferencial separável.

Pra isso vamos lembrar que pra resolver uma equação diferencial separável temos que “separar” tudo que tem uma variável de um lado e tudo que a outra variável do outro lado. Depois disso integramos os dois lados.

Passo 2

Temos:

x y ' = 2 y - 1

x d y d x = 2 y - 1

Reorganizando os termos:

1 y - 1 d y = 2 x d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y - 1 d y = ∫ 2 x d x

2 y - 1 + K 1 = 2 ln ⁡ x + K 2

Podemos deixar as constantes de um lado só: K 3 = K 2 - K 1

2 y - 1 = 2 ln ⁡ x + K 3

y - 1 = ln ⁡ x + K 3 2

Fazendo C = K 3 / 2

y - 1 = ln ⁡ x + C

y - 1 = ln ⁡ x + C 2

y = ln ⁡ x + C 2 + 1

Resposta

y = ln ⁡ x + C 2 + 1

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