Exercícios Resolvidos de EDO Separável

Elaboração Própria

Considere a equação diferencial

y ' = 7 x e x + y

a Ache a solução geral.

b Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial y 0 = 2 .

Passo 1

a) A primeira coisa que temos que perceber é que ela essa equação é separável.

y ' = 7 x e x + y

Olhando de primeira fica difícil ver isso. Mas vamos separar aquelas exponenciais

e x + y = e x e y

y ' = 7 x e x e y

Agora repara que temos do lado direito uma função só com y multiplicada por uma função só com x , isso é a grande evidência disso.

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 7 x e x e y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito.

Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro

e y d y = 7 x d x e x

Vamos deixar isso com uma cara mais amigável

e y d y = 7 x e - x d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

e y d y = 7 x e - x d x

O lado esquerdo fica tranquilinho,

e y = 7 x e - x d x

Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

7 x e - x d x

Vamos resolver isso por partes

u = 7 x d u = 7 d x

d v = e - x v = - e - x

A nossa integral vai ficar

7 x e - x d x = - 7 x e - x - - 7 e - x d x

7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 e - x d x

Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer, então vamos ter

7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 - e - x + C

7 x e - x d x = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Passo 5

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

e y = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Vamos tornar a solução explícita. Para isso, aplicamos o l n em ambos os lados.

y = ln - 7 x e - x - 7 e - x + C

Passo 6

b)

Ele disse no enunciado que

y 0 = 2

Então

2 = ln - 7.0 . e - 0 - 7 e - 0 + C

2 = ln - 7 + C

Para achar o valor de C vamos aplicar a exponencial em ambos os lados

- 7 + C = e 2

C = 7 + e 2

A nossa função vai ficar

y = ln - 7 x e - x - 7 e - x + 7 + e 2

Resposta

a)

y = ln - 7 x e - x - 7 e - x + C

b)

y = ln - 7 x e - x - 7 e - x + 7 + e 2

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