Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

(b)

y ' + 2 x y = x 2 + 1 2

y 0 = 1

Passo 1

b

Para resolver a EDO

y ' + 2 x y = x 2 + 1 2

Como estamos tratando de uma EDO não homogênea, vamos achar a solução da EDO homogênea associada e depois a solução particular.

A EDO homogênea associada é dada por

y ' + 2 x y = 0

Que é separável!

Então,

d y y = - 2 x d x

Integrando ambos os lados ficamos com

∫ d y y = ∫ - 2 x d x

⇒ ln ⁡ y = - x 2 + C

⇒ y = C e - x 2

Passo 2

Agora para achar a solução particular é só olhar para parte não homogênea dada por

x 2 + 1 2

Como é um polinômio do segundo grau, vamos procurar soluções da forma

y p = a x 2 + b x + c

Portanto,

2 a x + b + 2 a x 3 + 2 b x 2 + 2 c x = x 2 + 1 2

⇒ 2 a x 3 + x 2 2 b - 1 + x 2 a + 2 c + b - 1 2 = 0

Ai ficamos com

2 a = 0 ⇒ a = 0

2 b - 1 = 0 ⇒ b = 1 2

2 a + 2 c = 0 ⇒ c = 0

b - 1 2 = 0

Então, a solução particular é dada por

y p = x 2

Passo 3

Somando a solução homogênea com a particular ficamos com

y x = C e - x 2 + x 2

Aplicando as condições de contorno, ficamos com

1 = y 0 = C

Logo

y x = e - x 2 + x 2

Resposta

(b)

y x = e - x 2 + x 2

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