Resolva a seguinte equação diferencial:

d y d x = 1 + y 2 1 + x 2 x y

Passo 1

Hey pessoal, para resolver essa EDO nós vamos ter que integrar em função de x e y . Para facilitar nossa vida, vamos ver se dar para separar essa EDO.

Então vamos naquele algebrismo:

y 1 + y 2 d y = 1 x 1 + x 2 d x

Opa! É separável, então vamos integrar de ambos os lados para resolver!

Já sabemos que

x ≠ 0

Passo 2

Então, vamos integrar dos dois lados:

∫ y 1 + y 2 d y = ∫ 1 x 1 + x 2 d x     ( 1 )

Vamos começar pela integral em função de y .

Para resolver a primeira integral podemos fazer uma substituição simples!

Vamos chamar u = 1 + y 2 . Então nossa substituição ficará,

u = 1 + y 2

d u = 2 y   d y → d u 2 = y d y

Substituindo isso na primeira integral:

∫ y 1 + y 2 d y = 1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ | u | = 1 2 ln ⁡ | 1 + y 2 |

Nunca esqueça de substutuir o u de volta!

Passo 3

A segunda integral é mais complicada, né?

∫ 1 x 1 + x 2 d x

Caso você não lembre de frações parciais, aconselho que dê uma relembrada, ela é bem útil, e usaremos ela nesse caso! Basicamente você tem que analisar se o grau do polinômio no numerador é menor do que o do denominador, caso seja, a gente pode transformar essa fração em uma soma de frações mais simples (isso se o denominador não for irredutível), então vamos lá:

1 x 1 + x 2 = A x + B x + C 1 + x 2 = A + A x 2 + B x 2 + C x x 1 + x 2 = A + B x 2 + C x + A x 1 + x 2 Como x é um polinômio do primeiro grau, o numerador só fica com uma constante A , mas para ( 1 + x 2 ) o numerador fica como um polinômio genérico do primeiro grau B x + C . Para essa relação ser válida:

A + B = 0 C = 0 A = 1 → B = - 1

Substituindo isso na integral:

∫ 1 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 x - x 1 + x 2 d x = ∫ 1 x d x - ∫ x 1 + x 2 d x

A primeira integral é:

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | A segunda pode ser feita por uma substituição simples! Chame de u = 1 + x 2 → d u = 2 x   d x , substituindo:

- ∫ x 1 + x 2 d x = - 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ | u | = - 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 |

Assim a integral fica:

∫ 1 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 |

Por fim, substituindo os resultados obtidos na equação 1 :

1 2 ln ⁡ | 1 + y 2 | = ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + ln ⁡ C   ( 2 )

Esse " ln ⁡ C " é uma constante qualquer, ela aparece porque as integrais são indefinidas, eu defini ela como ln ⁡ C e não somente um C porque assim a gente vai poder fazer uns algebrismos para colocar o y em evidência. Não se assuste com isso, vamos usa muito essa técnica e você vai ficar craque!

Passo 4

Devemos arrumar a equação ( 2 ) para obter um resultado mais bonito né, galera. Então, vamos usar o algebrismo, usando a propriedade do logaritmo de que:

x ln ⁡ A = ln ⁡ A x (Regra do Peteleco!), logo:

1 2 ln ⁡ 1 + y 2 = ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + ln ⁡ C

ln ⁡ 1 + y 2 1 2 = ln ⁡ x + ln ⁡ 1 + x 2 - 1 2 + ln ⁡ C Assim usando uma propriedade do logaritimo ( ln ⁡ A + ln ⁡ B = ln ⁡ A B ) :

ln ⁡ | 1 + y 2 | 1 2 = ln ⁡ C ⋅ x ⋅ 1 + x 2 - 1 2

Assim:

| 1 + y 2 | 1 2 = C ⋅ x ⋅ 1 + x 2 - 1 2 → eleva tudo ao quadrado 1 + y 2 = C 2 ⋅ x 2 1 + x 2 - 1

1 + y 2 = C 2 ⋅ x 2 1 + x 2 y 2 = C 2 x 2 1 + x 2 - 1

Bem, sabemos que y 2 ≥ 0 ,   certo?

Para essa relação ser valida, então : C 2 x 2 ≥ 1 + x 2 , pois a fração sempre tem que ser maior que 1 para o numerador não ficar negativo, já que o denominador necessariamente é positivo.

Com isso chegamos na resposta!

y 2 = C 2 x 2 1 + x 2 - 1 + x 2 1 + x 2

y 2 = C 2 x 2 - 1 - x 2 1 + x 2

y = ± C 2 x 2 - 1 - x 2 1 + x 2

Resposta

Então, a resposta é:

y = ± C 2 x 2 - 1 - x 2 1 + x 2

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du