Considere a seguinte equação diferencial:

y ' - 2 x + x cos ⁡ x 2 y = 0

  1. Verifique se y x = x + x cos ⁡ x 2 é uma solução para a equação diferencial.
  2. Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 2 .

Passo 1

Podemos verificar se a função dada é solução plugando na equação:

y x = x + x cos ⁡ x 2 → y ' x = 1 + 1 2 cos ⁡ x - x   s e n x

Substituindo:

1 + 1 2 cos ⁡ x - x   s e n x - 2 x + x cos ⁡ x 2 x + x cos ⁡ x = 0

1 2 cos ⁡ x - x   s e n x = 0

Ou seja, não, a função dada não é solução.

Passo 2

Podemos encontrar a solução por separação de variáveis:

d y d x = 2 x + x cos ⁡ x 2 y

2 y d y = 2 x + x cos ⁡ x d x

Integrando ambos os lados:

y 2 + C = x 2 + ∫ x cos ⁡ x d x

Passo 3

Podemos resolver a equação nova com integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Fazendo:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ x d x → v = s e n x

∫ x cos ⁡ x d x = x   s e n x - ∫ s e n x d x

∫ x cos ⁡ x d x = x   s e n x + cos ⁡ x

Passo 4

Pondo tudo novamente no problema original:

y 2 + C = x 2 + ∫ x cos ⁡ x d x

y 2 + C = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + C '

Como a diferença de constantes é uma constante também:

y 2 = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + C

Podemos plugar a condição inicial:

y 0 = 2

y 0 2 = 0 2 + 0 × s e n 0 + cos ⁡ 0 + C

4 = 1 + C

C = 3

Portanto temos a solução:

y 2 = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + 3

Resposta

y x = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + 3

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y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du