Fazendo a mudança de variável v = e 2 y , resolva o problema de valor inicial:

2 t e 2 y d y d t = 3 t 4 + e 2 y

y 1 = 0

Passo 1

Então, vamos começar fazendo a substituição que o problema pediu para gente, mas, para isso, vamos ter que escrever: d y d t

Em função de v . Conseguimos fazer isso derivando v dado: d v d t = e 2 y ' = 2 e 2 y d y d t

Lembre-se que vai aparecer o d y / d t por conta da regra da cadeia, blz? Assim, isolando-o, temos: d y d t = 1 2 e - 2 y d v d t

Show. Já podemos fazer a substituição. Termo a termo, temos:

2 t e 2 y d y d t ⟹ 2 t e 2 y ⋅ 1 2 e - 2 y d v d t = t d v d t

3 t 4 ⟹ 3 t 4

e 2 y ⟹ v

Ou seja: 2 t e 2 y d y d t = 3 t 4 + e 2 y

⟹ t d v d t = 3 t 4 + v

Dividindo tudo por t para deixar a derivada sozinha na dela: d v d t = 3 t 3 + 1 t v

Sendo a condição inicial: y 1 = 0 ⟹ v 1 = e 2 y 1 = e 2 ⋅ 0 = 1

Ou seja, vamos ter o PVI:

d v d t = 3 t 3 + 1 t v

v 1 = 1

Passo 2

Legal, esse é uma EDO do tipo separável. Rescrevendo nosso problema, temos: v ' - 1 t v = 3 t 3

Repare que este é um problema na forma: v ' + A t v = B t

Com: A t = - 1 t B t = 3 t 3

Ou seja, esta é uma EDO linear! Assim, teremos solução na forma: v t = 1 I t ∫ I t B t d t + C

Em que I t é o fator integrante dado por: I t = e ∫ A t d t

Passo 3

Legal, então vamos começar pelo fator integrante: I t = e ∫ A t d t = e ∫ - 1 t d t = e - ln ⁡ t

Antes de sair cortando a exponencial com o logaritmo, vamos cuidar deste sinal aí:

e - ln ⁡ t = 1 e ln ⁡ t

Agora sim: I t = 1 e ln ⁡ t = 1 t

Assim, sem a constante mesmo, porque ela já está aparecendo na solução final.

Passo 4

Calculado o valor integrante, vamos determinar: ∫ I t B t d t

Substituímos o que temos:

∫ I t B t d t = ∫ 1 t ⋅ 3 t 3 d t = 3 ∫ t 2 d t = 3 t 3 3 = t 3

Novamente sem a constante.

Passo 5

Substituindo o que encontramos, temos: v t = 1 I t ∫ I t B t d t + C

v t = 1 1 / t t 3 + C

v t = t 4 + C t

Passo 6

Agora, como o problema nos deu uma condição inicial, podemos calcular o valor da constante. Substituindo o dado:

v 1 = 1 = 1 4 + C ⋅ 1

1 = 1 + C ⟹ C = 0

Logo:

v t = t 4

Passo 7

Achamos nosso querido v t , mas vamos determinar agora o y t que é o problema quer de fato. Como, por definição: v = e 2 y

Então, temos: t 4 = e 2 y

2 y = ln ⁡ t 4

y = 1 2 ln ⁡ t 4 = ln ⁡ t 4 = ln ⁡ t 2

y t = ln ⁡ t 2

E está é a solução que o problema pediu.

Passo 8

Não precisa seguir para terminar a questão, mas se quiser ter certeza, veja que:

y ' t = 1 t 2 ⋅ 2 t = 2 t

Assim, vamos ter:

2 t e 2 y d y d t = 3 t 4 + e 2 y

2 t ⋅ e 2 ln ⁡ t 2 ⋅ 2 t = 3 t 4 + e 2 ln ⁡ t 2

4 e ln ⁡ t 4 = 3 t 3 + e ln ⁡ t 4

4 t 4 = 4 t 4

Como a equação é verdadeira, o valor que encontramos é solução da EDO 😊

Resposta

y t = ln ⁡ t 2

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du