Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

f ) x ln ⁡ y y '   = y

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

y ' = e x + y

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de x e do outro só de y . E para isso vamos trocar y ' = d y d x para termos os diferenciais!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos:

x ln ⁡ y y ' = y

Reorganizando os termos:

x ln ⁡ y d y d x   = y

ln ⁡ y y d y = 1 x d x

Passo 3

Integrando os dois lados:

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ 1 x d x

ln ⁡ y 2 2 + K 1 = ln ⁡ x + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: K 3 = K 2 - K 1

ln ⁡ y 2 2 = ln ⁡ x + K 3

ln ⁡ y 2 = 2 ln ⁡ x + 2 K 3

Fazendo C = 2 K 3 , temos:

ln ⁡ y 2 = 2 ln ⁡ x + C

Resposta

ln ⁡ y 2 = 2 ln ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du