h Ache f x tal que f ' x = 1 - f x 2 e f 0 = 1

Passo 1

A primeira coisa que temos que perceber é que ela essa equação é separável. Mas como isso fica mais evidente? Primeiro vamos trocar f x por y para ter uma EDO como estamos acostumados

y ' = 1 - y 2

Agora repara que temos do lado direito uma função só com y , isso é a grande evidência disso.

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 1 - y 2

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito.

Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro

d y 1 - y 2 = d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ d y 1 - y 2 = ∫ d x

O lado direito fica tranquilinho,

∫ d y 1 - y 2 = x + C

Mas e o lado esquerdo? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

∫ d y 1 - y 2

Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y

Vamos resolver como se você, nem eu, soubéssemos dessa integral

Repara que temos uma subtração de uma função ao quadrado, isso nos dá a dica de usarmos a substituição trigonométrica. A primeira coisa a fazermos é identificar o caso da substituição trigonométrica e o valor de a .

Como temos 1 - y 2 na raiz o caso é a 2 - x 2 , e vamos ter a = 1

Isso nos diz que devemos fazer

y = sen ⁡ θ

Com

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Devemos agora achar d y

d y = cos ⁡ θ d θ

Passo 5

Substituindo y e d y na integral que temos ali no passo anterior vamos ter

∫ d y 1 - y 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sen ⁡ θ 2

Vamos ter

∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sen ⁡ θ 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sen 2 ⁡ θ =

= ∫ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ

Como o intervalo de θ é de - π / 2 até π / 2 vamos ter

∫ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ cos ⁡ θ =

∫ d θ = θ

Como achamos θ não vamos precisar do triângulo.

Temos

sen ⁡ θ = y

Então

θ = arcsen ⁡ y

E a nossa integral vai resultar no que vimos antes

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y

Passo 6

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

arcsen ⁡ y = x + C

Temos que isolar o y ,

y = sen ⁡ x + C

Passo 7

Temos a equação, como ele deu o valor inicial temos que achar C .

Ele disse no enunciado que

f 0 = y 0 = 1

Então

1 = sen ⁡ 0 + C

Vamos ter

C = π 2 + 2 k π

Com k ∈ Z

Vamos pegar o valor de C mais tranquilo, que é quando k = 0

C = π 2

A nossa função vai ficar

y = sen ⁡ x + π 2

Resposta

y = sen ⁡ x + π 2

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du