Exercícios Resolvidos de EDO Separável

PUC-RJ, Cálculo B, P4 2015.1, 4ª-Modificada

Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

Passo 1

A primeira coisa que temos que perceber é que essa equação é separável.

y ' = 2 x 1 - y 2

Agora repara que temos do lado direito uma função só com y multiplicada por uma função só com x , isso é a grande evidência disso.

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 2 x 1 - y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito.

Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro

d y 1 - y 2 = 2 x d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

d y 1 - y 2 = 2 x   d x

O lado direito fica tranquilinho,

d y 1 - y 2 = 2 x 2 2 + C

d y 1 - y 2 = x 2 + C

Mas e o lado esquerdo? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

d y 1 - y 2

Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que

d y 1 - y 2 = arcsen y

Passo 5

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

arcsen y = x 2 + C

Como ele quer a solução explícita, temos que isolar o y ,

y = sen x 2 + C

Resposta

y = sen x 2 + C

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