Considere a seguinte equação diferencial:

y ' = y cos ⁡ x 2

Encontre solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 1 .

Passo 1

Utilizando outra notação para derivada de y em relação à x , podemos observar o seguinte:

y ' = d y d x

d y d x = y cos ⁡ x 2

Podemos separar as variáveis da equação diferencial em questão:

d y y = cos 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Integrando ambos os lados:

∫ d y y = ∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x

Obtemos:

ln ⁡ y = ∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x

Esta segunda equação é um pouco mais complicada de se resolver. Podemos fazer uma substituição com fórmulas trigonométricas para sair dessa:

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

Passo 3

Aplicando a fórmula trigonométrica para resolver a integral, temos:

∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 x d x

∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x = 1 2 x + s e n 2 x 2 + C

Substituindo de volta, temos:

ln ⁡ y = 1 2 x + s e n 2 x 2 + C

Resolvendo para a variável y :

y = e 1 2 x + s e n 2 x 2 e C

Substituindo a condição inicial y 0 = 1 temos:

y 0 = e 1 2 0 + s e n 0 2 e C = 1

y 0 = e 0 e C = 1

e C = 1 → C = 0

Substituindo de volta na equação original obtemos nossa resposta:

y x = e 1 2 x + s e n 2 x 2

Resposta

e 1 2 x + s e n 2 x 2

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