Considere a seguinte equação diferencial:

y ' = sen ⁡ x 2 y 2

Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 3 .

Passo 1

Quando eu passo o y 2 para o outro lado multiplicando nós concluímos que essa é uma EDO separável:

y 2 y ' = sen ⁡ x 2

Agora vamos integrar dos dois lados e depois aplicar a condição de y 0 = 3 para descobrir a constante:

∫ y 2 y ' = ∫ sen ⁡ x 2 d x

Para integrar esse seno ao quadrado vou usar uma propriedade trigonométrica:

sen ⁡ x 2 = 1 - cos ⁡ 2 x 2

y 3 3 = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

y 3 3 = x 2 - sen ⁡ 2 x 4 + C

Passo 2

Vamos usar y 0 = 3 :

3 3 3 = 0 2 - sen ⁡ 0 4 + C

9 = 0 - 0 + C

C = 9

Então vamos descobrir y ( x ) :

y 3 3 = x 2 - sen ⁡ 2 x 4 + 9

y 3 = 3 2 x - sen ⁡ 2 x 2 + 18

y = 3 2 x - sen ⁡ 2 x 2 + 18 3

Resposta

y ( x ) = 3 2 x - sen ⁡ 2 x 2 + 18 3

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