Determine as soluções de equilíbrio da equação diferencial y ' + x y = x y 2

Passo 1

Vamos começar fazendo

y ' = d y d t

Assim nossa EDO vai ficar

d y d t + x y = x y 2

Vamos isolar o d y / d t

d y d t = x y 2 - x y

Arrumando isso, vamos ter

d y d t = x y 2 - y

Opa, isso é uma EDO separável

Passo 2

Para resolver, vamos isolar o d y e d t

d y y 2 - y = x d x

Passo 3

Agora vamos integrar dos dois lados

∫ d y y 2 - y = ∫ x d x

A integral da direita é de boa, o problema é aquela com y

∫ d y y 2 - y

Vamos usar frações parciais aqui

1 y 2 - y = 1 y y - 1 = A y + B y - 1

Igualando os denominadores, vamos ter

1 y y - 1 = A y - 1 + B y y y - 1

1 = A y - 1 + B y

Aqui vamos fazer duas situações

y = 0 → 1 = A 0 - 1 + B . 0 → A = - 1

y = 1 → 1 = A 1 - 1 + B . 1 → B = 1

Assim:

1 y 2 - y = - 1 y + 1 y - 1

Nossa integral vai ficar

∫ d y y 2 - y = ∫ 1 y - 1 - 1 y d y

Passo 4

Resolvendo a integral agora

∫ 1 y - 1 - 1 y d y = ∫ d y y - 1 - ∫ d y y = ln ⁡ y - 1 - ln ⁡ y = ln ⁡ y - 1 y = ln ⁡ 1 - 1 y

Passo 5

Voltando para nossa EDO, estávamos na parte

∫ d y y 2 - y = ∫ x d x

Usando a integral que achamos

ln ⁡ 1 - 1 y = x 2 2 + C

Passo 6

Vamos agora determinar a equação de y

ln ⁡ 1 - 1 y = x 2 2 + C

1 - 1 y = e x 2 / 2 + C

1 - 1 y = e C e x 2 / 2

1 - 1 y = ± e C e x 2 / 2

Podemos fazer

± e C = K

Afinal constante é constante rs

1 - 1 y = K e x 2 / 2

1 - K e x 2 / 2 = 1 y

y = 1 1 - K e x 2 / 2

Resposta

y = 1 1 - K e x 2 / 2

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Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du