Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).

1 8 .   1 + y 2 d x + 1 + x 2 d y = 0   ,     y 1 = 1

Passo 1

Bom, temos aqui um caso de EDO de variáveis separáveis. Vamos tentar escrevê-la da forma y ' = f x g ( y ) para verificar isso:

1 + y 2 + 1 + x 2 d y d x = 0

d y d x = - 1 + y 2 1 1 + x 2

UHUL! Agora é só alegria :D

Passo 2

Separando as variáveis:

- 1 1 + y 2 d y = 1 1 + x 2 d x

Integrando dos dois lados:

- ∫ 1 1 + y 2 d y = ∫ 1 1 + x 2 d x

- arctan ⁡ y = arctan ⁡ x + C

y = tan ⁡ D - arctan ⁡ x

Passo 3

Agora vamos usar a condição inicial para descobrir o valor da constante:

y 1 = 1

1 = tan ⁡ D - arctan ⁡ 1

D - arctan ⁡ 1 = π 4

D = π 4 + π 4 = π 2

Então nossa solução está dessa forma:

y = tan ⁡ π 2 - arctan ⁡ x

Pela propriedade da trigonometria:

tan ⁡ a - b = tan ⁡ a - tan ⁡ b 1 + tan ⁡ a t a n ⁡ ( b )

Então:

tan ⁡ π 2 - arctan ⁡ x = lim b → π 2 ⁡ tan ⁡ b - tan ⁡ arctan ⁡ x 1 + tan ⁡ b tan ⁡ arctan ⁡ x = lim b → π 2 ⁡ tan ⁡ b - x 1 + x tan ⁡ b = lim b → π 2 ⁡ 1 - x tan ⁡ b 1 tan ⁡ b + x

lim b → π 2 ⁡ 1 - x tan ⁡ b 1 tan ⁡ b + x = 1 x

Logo,

tan ⁡ π 2 - arctan ⁡ x = 1 x

y = 1 x

Agora fechou! 😉

Resposta

1 8 .   y = 1 x     ,     x > 0

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