14. Um disco homogêneo de raio R   =   50   c m e massa M   = 2,0   k g está fixo em uma de suas extremidades a uma parede vertical, conforme a figura abaixo. O disco gira, sem atrito, ao redor do eixo fixo que passa pelo ponto O é perpendicular ao plano x y , sendo abandonado com velocidade inicial nula quando o centro de massa está na altura do eixo de rotação. O módulo do vetor O módulo do vetor velocidade angular do disco quando seu centro estiver diretamente abaixo do eixo de rotação é, em r a d / s :

Passo 1

E aí galerinha! Olha nós aqui de novo!

A nossa questãozinha é praticamente a mesma do item anterior!

Se liga só! O enunciado fala pra gente que o disco está girando sem atrito! Se não há atrito com o eixo, o disco movimenta-se em um campo de forças conservativo (gravitacional). Isso é um presságio de que o melhor jeito pra gente resolver essa questão é através de conservação da energia mecânica.

Por isso, qual a primeira coisa a se fazer?

Já sabe, né!? Temos que fazer um diagrama de corpo livre para o nosso disco, especificicando direitinho as nossas variáveis e o referencial que estamos adotando.

Bora lá!

Temos duas forças agindo sobre o nosso disco, que são a força peso P → (uma vez que ele tem massa) e a força normal N → que o pivô exerce sobre o disco.

Repara que a gente até fez um sistema de coordenadas tridimensional ali no esboço... Tudo pra facilitar o entendimento, hein!?

Agora se liga! Na posição inicial, o centro de massa encontra-se na mesma altura que o ponto O e tem energia potencial gravitacional M g R (de acordo com a referência adotada para a energia potencial) e energia cinética nula, pois parte do repouso. Então, temos que:

E m e c , i = M g R

No instante final, o disco tem apenas energia cinética devido à sua rotação em torno do eixo fixo que passa pelo ponto O , e como ele tem inércia, sua energia final será dada por:

E m e c , f = 1 2 I ω 2

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é determinar o momento de inércia do disco. Pois bem! Pelo teorema dos eixos paralelos, temos que:

I = I C M + M R 2

Uma vez que o momento de inércia passando pelo centro de massa de um disco é:

I C M = 1 2 M R 2

Olhando a figura do P a s s o   1 , chegamos ao seguinte valor para I :

I = I C M + M R 2

I = 3 2 M R 2

Desse modo, igualando as energias mecânica inicial e final, chegamos à seguinte relação:

E m e c , i = E m e c , f

g R = 1 2 3 2 R 2 ω 2

g R = 3 4 R 2 ω 2

ω = 4 g 3 R

Substituindo os valores numéricos da cada variável:

ω = 4 g 3 R

ω = 4 ( 9,81   m / s ² ) 3 ( 0,5   m )

ω = 5,16   r a d / s

Obtemos o que procurávamos!

Bora pra próxima!

Resposta

ω = 5,16   r a d / s

Exercícios de Livros Relacionados

Uma régua de um metro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremi
Na figura abaixo, uma barra fina e homogênea (com 4 m de comprimento e uma massa de 3 k g ) gira livremente em torno de um eixo horizontal A que é perpendicular à barra e passa por um ponto situado a
O corpo rígido da figura abaixo é formado por três bolas e três barras de ligação, com M = 1,6 k g , L = 0,6 m e θ = 30 ° . As bolas podem ser tratadas como partículas e as barras têm massa desprezíve
Como estagiário de uma empresa de engenharia, você é solicitado a medir o momento de inércia de uma grande roda, para girar em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Você mede o diâmetro da roda,
91 . Na F I G U R AP D 12.91 , uma bola de gude desce rolando um trilho que possui uma parte em loop com raio R . A bolinha possui massa m e raio r . Que altura mínima h deve ter o trilho a fim de que