Exercícios Resolvidos de Energia Cinética de Rotação

UFRJ-PF-2014.1-ME6

Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial v do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial v do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.

A relação entre a altura máxima H b que o bloco atinge e a altura máxima H e que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por

(a) H b = H e , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.

(b) H b = H e , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

(c) H b > H e , pois o bloco desliza sem atrito.

(d) H e > H b , pois a esfera rola sem deslizar.

(e) H e > H b , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

Passo 1

Primeiro vamos determinar se a energia mecânica se conserva pro bloco e pra esfera.

Pro caso do bloco é fácil: não tem atrito (nem outra força não-conservativa) atuando, então ela se conserva.

Já pra esfera temos que ficar ligados! Tem atrito, mas se não tivesse a esfera não poderia rolar sem deslizar! Que nem provavelmente você já ouviu dizer que se o chão não tivesse atrito, não daria pra gente andar (por isso que pessoas que andam no gelo escorregam).

Enfim, o ponto é que esse atrito é só o suficiente pra esfera rolar sem deslizar, mas ele não faz a esfera perder energia!

Portanto, tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Apesar de na figura a esfera e o bloco não estarem exatamente no nível do chão, vamos considerar que eles partem com energia potencial gravitacional zero, ok?

Então a energia mecânica inicial E i deles é igual à energia cinética inicial K   associada à velocidade v .

Passo 3

Começando pela esfera: vamos considerar que ela tem massa M e raio R .

Ela tem as energias cinéticas de rotação K r o t e de translação K t r a n , então sua energia mecânica inicial é:

E i e s f e r a = K r o t + K t r a n

E i e s f e r a = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Passo 4

O momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R é

I = 2 5 M R 2

E também temos a relação

v = ω R   ω = v R

Passo 5

Então a equação que achamos antes vai dar:

E i e s f e r a = 1 2 2 5 M R 2   v R 2 + 1 2 M v 2

E i e s f e r a = 2 10 M R 2 v 2 R 2 + 1 2 M v 2

E i e s f e r a = 2 10 M v 2 + 5 10 M v 2

E i e s f e r a = 7 10 M v 2

Então essa é a energia mecânica inicial da esfera!

Passo 6

Agora vamos supor que o bloco tem massa m . Como vimos, sua energia mecânica inicial é igual à sua energia cinética inicial e vale

E i b l o c o = 1 2 m v 2

Passo 7

Agora vamos estudar as energias mecânicas finais E f da esfera e do bloco, começando pela esfera!

No fim do movimento, a esfera para numa altura H e : toda a sua energia cinética se transformou em energia potencial gravitacional, então:

E f e s f e r a = M g H e

Passo 8

E pela conservação da energia mecânica,

E i e s f e r a = E f e s f e r a

7 10 M v 2 = M g H e

Multiplicando por 10 7 M dos 2 lados:

v 2 = 10 7 g H e

v = 10 7 g H e

Passo 9

Da mesma forma, pro bloco,

E f b l o c o = m g H b

e

E i b l o c o = E f b l o c o

Passo 10

Logo,

1 2 m v 2 = m g H b

v 2 = 2 g H b

v = 2 g H b

Passo 11

Recapitulando, achamos

v = 10 7 g H e v = 2 g H b

Passo 12

Igualando as 2 expressões:

10 7 g H e = 2 g H b

10 7 g H e = 2 g H b

10 7 H e = 2 H b

H e = 7 10 2 H b = 14 10 H b

H e > H b

Chegamos nesse resultado por causa da conservação da energia mecânica, então a alternativa certa é a letra (e)!

Resposta

Alternativa (e)

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