Uma polia sem atrito possui o formato de um disco maciço e uniforme com massa de 2,50 kg e raio de 0,2 m. Uma pedra de 1,5 Kg é presa a um cabo muito leve que envolve a borda da polia, e o sistema é liberado a partir do repouso, imagem abaixo. Qual distância a pedra deve descer para que a polia tenha 4,5 J de energia cinética? Considere o momento de inércia da polia I = 1 2 M R 2 .

Passo 1

Falai galerinha, tudo na paz?

Vamos resolver essa questão utilizando a conservação da energia mecânica.

A energia mecânica total de um sistema é conservada se não houver dissipação de energia. Neste caso, a energia mecânica total do sistema é a soma da energia potencial gravitacional da pedra e a energia cinética da polia.

No início, quando a pedra é liberada do repouso, toda a energia está na forma de energia potencial gravitacional:

E i n i c i a l = m ⋅ g ⋅ h

Onde:

- m   é a massa da pedra ( 1,50   k g ) .

- g   é a aceleração devido à gravidade ( 9,81   m / s 2 )

- h   é a altura inicial.

Passo 2

Quando a pedra cai e a polia gira, parte da energia potencial gravitacional da pedra é convertida em energia cinética da pedra, enquanto o restante é convertido em energia cinética da polia e potencial gravitacional da polia.

Quando a polia tem 4,50   J de energia cinética, podemos considerar a altura final da pedra como sendo ( h - R ) onde R   é o raio da polia ( 0,20   m ) .

A energia cinética da pedra é

K E p e d r a = 1 2 m ⋅ v 2

A energia cinética da polia é

K E p o l i a = 1 2 I ⋅ ω 2

Para que a polia tenha 4,5   J de energia cinética, a energia final do sistema é a soma das energias cinéticas da pedra e da polia:

E f i n a l = K E p e d r a + K E p o l i a

Passo 3

A energia final é a soma da energia cinética da pedra e a energia cinética da polia:

E f i n a l = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Onde:

- m é a massa da pedra ( 1,50   k g ) .

- v é a velocidade da pedra.

- I é o momento de inércia da polia 1 2 M R 2

- ω é a velocidade angular da polia.

- M é a massa da polia ( 2,50   k g ) .

- K r o t = 1 2 I ω 2

Sabemos que a velocidade tangencial da pedra é a mesma que a velocidade tangencial da borda da polia, que é v = ω ⋅ R

Portanto:

v = ω ⋅ R

Substituindo as expressões para I   e   v p

Onde v p é a velocidade linear da borda da polia.

E f i n a l = 1 2 m ⋅ v 2 + 1 2 1 2 M ⋅ R 2 ⋅ v R 2

E f i n a l = 1 2 m ⋅ v 2 + 1 4 M ⋅ v 2

Passo 4

Agora, igualando a energia inicial à energia final:

m ⋅ g ⋅ h = 1 2 m ⋅ v 2 + 1 4 M ⋅ v 2

Vamos isolar v 2 nesta equação:

1 4 M ⋅ v 2

v = 4 K r o t M

Onde K r o t = 4,50

v = 4 ⋅ 4,50 2,50

v = 2,68   m / s

Agora, podemos substituir esse valor de v na equação de conservação de energia mecânica para encontrar h :

m ⋅ g ⋅ h = 1 2 m ⋅ v 2 + K r o t

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:

1,5 k g ⋅ 9,81   m / s 2 ⋅ h = 1 2 ⋅ 1,5 k g ⋅ 2,68 2 + 4,50

Vamos calcular h   a partir desta equação:

14,7   h = 9,8868

h ≈ 0,67257   m

Portanto, a altura h   que a pedra deve cair para que a polia tenha 4,5   J de energia cinética é aproximadamente 0,672   m .

Resposta

0,672   m

Exercícios de Livros Relacionados

Uma régua de um metro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremi
Na figura abaixo, uma barra fina e homogênea (com 4 m de comprimento e uma massa de 3 k g ) gira livremente em torno de um eixo horizontal A que é perpendicular à barra e passa por um ponto situado a
O corpo rígido da figura abaixo é formado por três bolas e três barras de ligação, com M = 1,6 k g , L = 0,6 m e θ = 30 ° . As bolas podem ser tratadas como partículas e as barras têm massa desprezíve
Como estagiário de uma empresa de engenharia, você é solicitado a medir o momento de inércia de uma grande roda, para girar em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Você mede o diâmetro da roda,
91 . Na F I G U R AP D 12.91 , uma bola de gude desce rolando um trilho que possui uma parte em loop com raio R . A bolinha possui massa m e raio r . Que altura mínima h deve ter o trilho a fim de que