Dois fios ideais estão enrolados na periferia de um cilindro de comprimento L , raio R e massa M = 2,0   k g . O cilindro é abandonado a partir do repouso e passa a cair na vertical sem escorregar nos fios. Considere I c m = 1 2 M R 2 e g = 10   m / s 2 .

Para o instante em que o eixo do cilindro tiver descido a distância vertical de h = 90,0   c m , calcule:

a) a energia cinética de translação K T R do cilindro;

b) a energia cinética de rotação K R O T do cilindro.

Considere agora um segundo cilindro de mesmo L , mesmo R e mesma massa M que o anterior, mas com massa distribuída de modo diferente de tal modo que I c m = β M R 2 , onde β é um fator adimensional menor ou igual a 1 .

c) Calcule o valor de β sabendo que, após cair h = 22,5   c m a partir do repouso, a velocidade escalar de seu centro de massa vale v C M = 2,00   m / s .

Passo 1

Fala pessoal, prontos para mais uma questão?

Os dois primeiros itens a gente resolve junto: basta usar a conservação da energia!

Inicialmente a energia mecânica era toda potencial gravitacional. Com a queda, essa energia potencial se converte em energia cinética, uma parcela de translação e outra de rotação:

M g h = K R O T + K T R

Daí usamos

K R O T = 1 2 I ω 2 = 1 2 M R 2 2 ω 2                 e             K T R = 1 2 M v 2 = 1 2 M ω R 2 = 1 2 M R 2 ω 2

Assim,

M g h = 1 2 M R 2 2 ω 2 + 1 2 M R 2 ω 2 = 3 4 M R 2 ω 2

Logo,

M R 2 ω 2 = 4 3 M g h = 4 3 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 0,9 = 24   J

Passo 2

A energia de translação é dada por

K T R = 1 2 M R 2 ω 2 = 1 2 ⋅ 24 → K T R = 12   J

Já a de rotação é

K R O T = 1 4 M R 2 ω 2 = 1 4 ⋅ 24 → K R O T = 6   J

Passo 3

Para o item (c) o momento de inércia agora é I = β M R 2 . Assim, a conservação de energia nos fornece

M g h = 1 2 M v 2 + 1 2 I ω 2 = 1 2 M v 2 + 1 2 β M R 2 v R 2

Portanto,

M g h = 1 2 M v 2 + 1 2 β M v 2

Simplificando as massas:

2 g h = 1 + β v 2 → β = 2 g h v 2 - 1

Portanto,

β = 2 ⋅ 10 ⋅ 0,225 2 2 - 1

Ou ainda,

β = 0,125

Com isso finalizamos mais um problema 😉.

Resposta

K T R = 12   J

K R O T = 6   J

β = 0,125

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