Uma partícula massiva encontra-se grudada em uma das extremidades de uma barra sem massa (ver Figura 1 abaixo). A outra extremidade da barra está conectada na origem O do plano horizontal x y . A partícula e a barra giram no plano x y , de modo que a partícula descreve uma circunferência com centro no ponto O . A posição angular da partícula (em rad) é dada por:

θ t = π 3 + 2 t 4 ,

onde o tempo t é dado em segundos. O momento de inércia da partícula em relação ao eixo perpendicular ao plano x y e que passa no ponto O é I   =   4,0   k g ⋅ m 2 .

A energia cinética de rotação da partícula no instante t = 2,0   s vale:

(a) 128 J (b) 256 J (c) 512 J (d) 1024 J (e) 2048 J (f) 4096 J (g) 8192 J (h) 16384 J

Passo 1

Olá! Tudo bem? Temos aqui um problema de rotação de corpos rígidos! Nele precisaremos saber um pouco sobre velocidade angular instantânea ( ω ), momento de inércia ( I ) e energia cinética de rotação ( k ).

Passo 2

Entendemos a velocidade instantânea, de modo simplificado, como a velocidade em um dado ponto. Considerando o conhecimento sobre velocidade média, consideramos a velocidade média angular ( ω m ) como sendo a razão entre o deslocamento angular ( ∆ θ = θ 2 - θ 1 ) e o intervalo de tempo ( ∆ t = t 2 - t 1 ):

ω m = ∆ θ ∆ t

Agora que sabemos isso, podemos definir a velocidade angular instantânea como o limite de ω m quando ∆ t tende a zero, ou seja, a derivada de θ em relação a t :

ω = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ θ ∆ t =   d θ d t

Passo 3

Neste conteúdo, considerando um corpo rígido, o momento de inércia pode ser definido, de modo simples, como sendo a massa da partícula multiplicada pela distância ao eixo de rotação (raio):

I = m r 2

Passo 4

Podemos descrever a energia cinética em termos da velocidade angular e do momento de inércia da seguinte forma:

k = 1 2 I ω 2

Passo 5

Agora que sabemos mais alguns conceitos, poderemos, finalmente, calcular a energia cinética de rotação da partícula no instante t = 2,0   s .

Primeiro, calculamos a velocidade:

ω = d θ d t = d π 3 d t + d 2 t 4 d t = 0 + 2 ⋅ 4 t 3 = 8 t 3

Sendo t = 2,0   s temos,

ω = 8 ⋅ 2 3

ω = 64   r a d / s

portanto a energia cinética de rotação é:

k = 4 ⋅ 64 2 2

k = 8192   J

Resposta

Letra (g)

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