Dois blocos de massas m e 3 m estão ligados por um fio ideal que passa por uma roldana homogênea, também de massa m , e de raio R . A roldana é sustentada por um eixo horizontal coincidente com seu eixo geométrico de simetria, como ilustra a figura. Não há atrito entre o eixo e a roldana e o fio não desliza sobre ela. Considere o intervalo de tempo com um instante inicial em que a roldana e os blocos estão em repouso e um instante final em que o bloco mais pesado já desceu uma distância vertical h .

Considere como dados m ,   R ,   h e o módulo g da aceleração da gravidade. O momento de inércia da roldana relativo ao seu eixo de simetria é m R 2 / 2 . Calcule

a) a variação da energia cinética do sistema constituído pela roldana e os blocos no intervalo de tempo considerado;

b) o módulo da velocidade do bloco mais pesado no instante final;

c) a razão entre a energia cinética de rotação da roldana e a energia cinética total de translação dos dois blocos no instante final.

Passo 1

a)

Não tem atrito ou outra força não-conservativa atuando no sistema então a energia mecânica E m do sistema é conservada:

Δ E m = 0

⇒ Δ K + Δ U g = 0 ,

onde K é a energia cinética e U g a energia potencial gravitacional. Então temos

Δ K = - Δ U g

Passo 2

O sistema é composto pela roldana e pelos blocos, mas como a roldana não sai do lugar, sua altura não muda, então sua energia potencial gravitacional é constante. Portanto podemos ignorá-la. Vamos estudar a variação da U g , então estamos interessados em energias que variam!

Sempre que a gente tem um objeto que não se mexe, podemos fazer isso.

Passo 3

Então vamos focar nas energias potenciais gravitacionais dos blocos, show?

Sendo Δ U g m a variação da energia potencial gravitacional do bloco de massa m e Δ U g 3 m a variação de energia potencial gravitacional do bloco de massa 3 m , temos

Δ U g = Δ U g m + Δ U g 3 m

⇒ Δ K = - Δ U g = - Δ U g m - Δ U g 3 m

Passo 4

O bloco de massa m sobe uma altura h , então sua variação de energia potencial gravitacional é:

Δ U g m = m g h

Passo 5

Já o bloco de massa 3 m desce uma altura h , então:

Δ U g 3 m = - 3 m g h

Ela é negativa porque o bloco desceu, portanto perdeu energia potencial gravitacional.

Passo 6

Logo, a variação de energia cinética do sistema é:

Δ K = - Δ U g m - Δ U g 3 m

⇒ Δ K = - m g h - - 3 m g h

⇒ Δ K = 2 m g h

Passo 7

b)

A primeira coisa que a gente tem que perceber, e que geralmente acontece nos exercícios desse tipo, é que o fio é ideal, então a velocidade dos blocos têm o mesmo módulo!

Queremos achar esse módulo no momento final, então vamos chamá-lo de v f , beleza?

Passo 8

Agora vamos continuar, tentando aproveitar o resultado da letra (a)!

A energia cinética final K f do sistema é a soma das energias cinéticas finais da roldana ( K f r o l d ) e dos blocos ( K f m e K f 3 m ):

K f = K f m + K f 3 m + K f r o l d

Passo 9

Já vimos que os blocos têm velocidade final v f . Já a roldana não tem translação, sua energia cinética é de rotação, então temos

K f = 1 2 m v f 2 + 1 2 3 m v f 2 + 1 2 I ω 2

Passo 10

Mas a roldana está vinculada aos blocos, então podemos usar a relação

v f = ω R

⇒ ω = v f R

Passo 11

E sabemos que o momento de inércia da roldana é

I = m R 2 2

Então a equação vai ficar:

K f = 1 2 m v f 2 + 1 2 3 m v f 2 + 1 2 ∙ m R 2 2 v f R 2

⇒ K f = 1 2 m v f 2 + 1 2 3 m v f 2 + 1 4 ∙ m R 2 v f 2 R 2

⇒ K f = 1 2 m v f 2 + 3 2 m v f 2 + 1 4 m v f 2

⇒ K f = 9 4 m v f 2

Passo 12

Mas o sistema parte do repouso: a sua energia cinética inicial é nula!

Então a variação de energia cinética do sistema é igual à sua energia cinética final K f :

Δ K = K f

Passo 13

É agora que entra o resultado da letra (a)! :D

Vimos que

Δ K = 2 m g h

E depois achamos

K f = 9 4 m v f 2

Passo 14

Igualando os 2 resultados, isso dá:

9 4 m v f 2 = 2 m g h

⇒ v f 2 = 4 9 m 2 m g h = 8 9 g h

⇒ v f = 8 9 g h = 8 g h 3

Passo 15

c)

Já vimos que a energia cinética de rotação da roldana é:

K r o l d = 1 2 I ω 2

Substituindo I = m R 2 / 2 e ω = v f / R   isso dá:

K r o l d = 1 2 ∙ m R 2 2 ∙ v f R 2

⇒ K r o l d = m R 2 v f 2 4 R 2

⇒ K r o l d = m v f 2 4

Passo 16

A energia cinética total final K f t o t de translação dos blocos é a soma das energias cinéticas finais dos 2 blocos:

K f t o t = K f m + K f 3 m

⇒ K f t o t = 1 2 m v f 2 + 1 2 3 m v f 2

⇒ K f t o t = 2 m v f 2

Passo 17

Então a razão entre a energia cinética de rotação da roldana e a energia cinética de translação dos blocos é:

K r o l d K f t o t = m v f 2 4 2 m v f 2 = m v f 2 8 m v f 2

⇒ K r o l d K f t o t = 1 8

Resposta

a)

Δ K = 2 m g h

b)

v f = 8 g h 3

c)

r a z ã o = 1 8

Exercícios de Livros Relacionados

Uma régua de um metro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremi
Na figura abaixo, uma barra fina e homogênea (com 4 m de comprimento e uma massa de 3 k g ) gira livremente em torno de um eixo horizontal A que é perpendicular à barra e passa por um ponto situado a
O corpo rígido da figura abaixo é formado por três bolas e três barras de ligação, com M = 1,6 k g , L = 0,6 m e θ = 30 ° . As bolas podem ser tratadas como partículas e as barras têm massa desprezíve
Como estagiário de uma empresa de engenharia, você é solicitado a medir o momento de inércia de uma grande roda, para girar em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Você mede o diâmetro da roda,
91 . Na F I G U R AP D 12.91 , uma bola de gude desce rolando um trilho que possui uma parte em loop com raio R . A bolinha possui massa m e raio r . Que altura mínima h deve ter o trilho a fim de que