Uma bola de gude de massa m e raio r rola sem deslizar ao longo do trilho curvo mostrado na figura, tendo sido abandonada do repouso em algum lugar sobre a parte reta do trilho. A linha pontilhada descreve a trajetória do centro de massa da bola de gude.

Dado: Momento de inércia de uma esfera girando ao redor do eixo que passa pelo seu centro de massa: I c m = 2 5 m r 2

  1. Desenha as forças que agem sobre a esfera quando ela desce a parte reta do trilho, justificando o sentido da força de atrito.
  2. De que altura mínima h acima da base do trilho se deve abandonar a bola a fim de que ela se mantenha no trilho no topo da circunferência?
  3. Se a bola é abandonada de uma altura 6 R acima da base do trilho, qual será o módulo da componente horizontal da força atuante sobre ela no ponto Q ?

Passo 1

a):

Onde:

N → : Normal.

P → : Peso.

F a t → : Força de atrito.

A força de atrito tem esse sentido porque deve fazer a esfera girar no sentido horário, já que ela está descendo o plano.

Passo 2

b):

Bom, nesse tipo de pergunta, a gente tem que primeiro analisar as condições que a bolinha adquire quando chega lá em cima da volta.

Lá em cima, a normal será nula. Então, lembrando também que a força resultante é a força centrípeta, vamos ter:

N + m g = m v 2 R

m g = m v 2 R → v = R g

Então é essa a velocidade que a esfera precisa ter quando atingir o topo da volta.

Passo 3

Agora vamos pra conservação de energia. Como a energia mecânica se conserva, a energia potencial do inicio vai ser a mesma que a energia mecânica lá no topo da volta.

Bom, a energia mecânica inicial é toda potencial e vale:

E M = E p = m g h

E a final:

E M = K R O T + K T R A N S + U = I ω 2 2 + m v 2 2 + m g 2 R

Lembrando que a altura final é 2 R . Além disso, pela condição de rolamento sem deslizamento:

v = ω r   → ω = v r

Então:

E M = I v r 2 2 + m v 2 2 + 2 m g R

Usando:

v = g R

I = 2 5 m r 2

Então:

E M = 2 5 m r 2 . 1 2 . g R r 2 + m g R 2 + 2 m g R

Ufa! Simplificando isso ae:

E M = 1 5 m g R + m g R 2 + 2 m g R = 7 m g R 10 + 2 m g R = 27 m g R 10

Beleza? Só tem tomar cuidado com todas essas contas bestas ai. Agora, comparando com a energia mecânica inicial:

m g h = 27 m g R 10

h = 27 10 R = 2,7 R

Passo 4

c):

A charada aqui está em achar a velocidade que a bola vai ter quando atingir essa posição. Ai você usa:

F c p = m v 2 R

Afinal de contas, na direção horizontal só vai ter atuação da força centrípeta, que será igual a normal:

N = F c t p

Assim, usando a conservação de energia mais uma vez:

m g 6 R = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2 + m g R

Usando:

ω = v r

I = 2 5 m r 2

Então:

m g 6 R = 1 2 . 2 5 m r 2 . v 2 r 2 + m v 2 2 + m g R

5 m g R = 7 10 m v 2

Ai que tá. A gente pode manipular esse troço pra conseguir a expressão da força centrípeta assim:

5 m g R = 7 10 m v 2 → 50 m g 7 = m v 2 R

F c t p = N = 50 m g 7

Resposta

a):

b):

h = 2,7 R

c):

F c t p = N = 50 m g 7

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