Enunciado

Um bloco de massa M = 2 k g encontra-se sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso a uma corda que passa por uma roldana circular de raio R   =   0,20   m e momento de inércia I = 0,040   k g / m 2 (ver Figura 3). A corda não desliza na roldana e sua outra extremidade é presa a um bloco de massa m   =   1   k g . O sistema encontra-se inicialmente em repouso. Considere g   =   10   m / s 2 .

  1. Num dado instante após o sistema ser liberado, os blocos possuem velocidade de módulo v = 2 m / s . Qual é a velocidade angular da roldana nesse instante? Qual é a energia cinética total do sistema formado pelos blocos e pela roldana nesse instante?
  2. Qual é o módulo da velocidade dos blocos no instante em que o bloco menor se encontra a uma distancia vertical de h = 2 m em relação à sua altura original?
  3. Na situação do item (b), qual é o módulo do momento angular da roldana em relação ao seu centro?
  4. Quais são a aceleração dos blocos e a aceleração angular da roldana após o sistema ser liberado?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

A velocidade angular está relacionada com a velocidade linear do sistema. Como o fio não desliza na roldana, a roldana ter velocidade angular igual à dos blocos, ou seja, v = 2 m / s . A velocidade angular ω é:

ω = v R

A velocidade é 2 e o raio vale 0,2 , assim a velocidade angular é:

ω = 2 0,2 = 10 r a d / s

E a energia cinética total vai ser a soma das energias cinéticas translacionais dos blocos mais a energia cinética rotacional da roldana:

E T = M v 2 2 + m v 2 2 + I ω 2 2

Os dados são:

m = 1 k g ; M = 2 k g ; I = 0,040   k g / m 2

v = 2 m / s

ω = 10 r a s / s

Agora é só substituir:

E T = 2 2 2 2 + 1 2 2 2 + 0,04 10 2 2

E T = 8 J

Passo 2

Letra (b):

Como o sistema é conservativo, a energia inicialmente armazenada na forma de energia potencial gravitacional é toda convertida em energia cinética. A energia inicial é m g h , e depois a energia final é só a energia cinética (rotacional da roldana e translacional dos blocos):

m g h = m v f 2 2 + M v f 2 2 + I v f 2 2 R 2

Agora vou isolar v f 2 do lado direito dessa expressão e jogar todas as outras quantidades para o outro:

m g h = m 2 + M 2 + I 2 R 2 v f 2

v f = 2 m g h M + m + I / R 2

Os valores das massas e do momento de inércia são os mesmos usados no passo anterior e a altura vale h = 2 m , então é só substituir:

v f = 2.1 . 10.2 2 + 1 + 0,04 / 0,2 2 = 10 m / s

Certo até aqui?

Passo 3

Letra (c):

O momento angular da roldana está relacionado com a velocidade linear final, saca só:

L = I ω f = I v f R

E usando a velocidade que acabamos de encontrar, fica tranquilo achar o momento angular:

L = 0,04 . 10 0,2 = 0,63 k g   m 2 / s

Tranquilo até aqui? Vamos para o último item?

Passo 4

Letra (d):

Para resolver esse último item vamos relembrar de uma formula lá da cinemática:

v f 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

A velocidade inicial é zero, a velocidade final é 10 , o deslocamento foi de 2 m , daí fica tranquilo achar a aceleração linear:

10 2 = 0 2 + 2 a . 2

10 = 4 a

a = 2,5 m / s 2

E para achar a aceleração angular α é só usar o raio:

α = a R = 2,5 0,2 = 12,5 r a d / s 2

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   ω = 10   r a d / s

E T = 8 J

b )   v f = 10 m / s

c ) L = 0,63 k g   m 2 / s

d ) α = 12,5 r a d / s 2

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