O ângulo em radianos descrito pelo eixo de um motor é dado por

θ t = 250   r a d s s t - 10 r a d s 2 2  

Qual o número mínimo de voltas o eixo completa até inverter o sentido da rotação?

Passo 1

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Para encontrar o número mínimo de voltas que o eixo de um motor completa até inverter o sentido da rotação, precisamos analisar a função θ ( t ) que descreve o ângulo em radianos em função do tempo.

A função dada é:

θ t =   250 r a d s s t   -   10 r a d s 2 t 2

A mudança de sentido da rotação ocorre quando o motor passa de uma rotação no sentido horário para uma rotação no sentido anti-horário ou vice-versa.

Isso acontece quando a velocidade angular do motor muda de direção, ou seja, quando a velocidade angular muda de sinal (de positiva para negativa ou de negativa para positiva).

A velocidade angular é a derivada da função θ ( t ) em relação ao tempo t:

ω t = d θ t d t =   250 r a d s s -   20 r a d s 2 t

Passo 2

Para encontrar o momento em que a velocidade angular muda de sinal, precisamos encontrar quando ω ( t )   =   0 , pois isso indica que a velocidade angular está passando por zero e mudará de direção.

Então, resolvemos a equação:

250   -   20 t   =   0

Agora, resolvemos para t:

20 t   =   250

t   = 250 20

t   =   12,5   s e g u n d o s

Isso significa que após 12,5 segundos, a velocidade angular passa por zero e muda de direção.

Agora, precisamos encontrar o ângulo total percorrido pelo eixo durante esse tempo.

O ângulo total percorrido é dado pela integral da velocidade angular em relação ao tempo:

Δ θ   =   ∫ ( ω ( t )   d t )   d e   0   a   12,5

Δ θ   =   ∫ ( 250   -   20 t )   d t   d e   0   a   12,5

Passo 3

Agora, calculemos a integral:

Δ θ   =   250 t   -   10 t 2   d e   0   a   12,5

Δ θ   =   250   *   12,5   -   10   *   12,5 2   -   ( 0   -   0 )

Δ θ   =   3125   -   1562,5

Δ θ   =   1562,5   r a d i a n o s

Agora, precisamos converter esse ângulo de radianos para voltas.

Sabemos que 1 volta é igual a 2 π   radianos.

Portanto:

N ú m e r o   d e   v o l t a s   = Δ θ 2 π  

N ú m e r o   d e   v o l t a s   = 1562,5 2 π     ≈   248,59   v o l t a s

Portanto, o número mínimo de voltas que o eixo completa até inverter o sentido da rotação é aproximadamente 248,59   v o l t a s .

Resposta

248,59   v o l t a s

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