Um corpo rígido é formado por três barras finas de comprimento L , unidas na forma de uma letra H . O corpo pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que coincide com uma das "pernas"do H . O corpo é liberado a partir do repouso em uma posição em que o plano de H está na horizontal. Qual é a velocidade angular do corpo quando o plano do H está na vertical?

A. ω = 3 g 2 L

B. ω = 3 2 g L

C. ω = g L  

D. ω = 1 2 g L

E. ω = 3 g L  

Passo 1

Primeira coisa que a gente pode perceber é que só duas barras estão de fato girando. A barra 1 não contribui, porque o eixo tá passando por ela, então o momento angular dela é zero, e também ela não translada, então o CM dela tá paradinho.

Já para as barras 2 e 3, temos que o centro de massa delas se movem. Olhando para o objeto formado pelas barras 2 e 3, temos que o centro de massa desse objeto está um pouco mais pra baixo do meio da barra vertical, que nem eu desenhei ali. Então, se a gente colocar a rigem bem na altura do centro de massa do nosso objeto na situação final, temos que, no inicio ele tava numa altura h , e no final ele está numa latura zero.

Beleza, como não temos forças dissipativas roubando energia do nosso sistema, temos que a energia mecânica se conserva.

Passo 2

Então:

E i n í c i o = E f i n a l

U i o b j e t o + K i o b j e t o = U f o b j e t o + K f o b j e t o

Como o objeto parte do repouso: K i o b j e t o = 0

Colocamos nossa origem de tal forma que a energia potencial final do objeto fosse zero U f o b j e t o = 0 . Ou seja, a origem está na altura do CM do nosso objeto.

M o b j e t o g h = K f o b j e t o

O nosso objeto é formado por 2 barras. Vamos falar que cada barra tem massa m . Então:

2 m g h = I o b j e t o ω 2 2

ω 2 = 4 m g h I o b j e t o

Passo 3

Vamos descobrir quem é o h . Sabemos que ele é a posição do centro de massa do nosso objeto, então, usamos:

M o b j e t o y C M = ∑ m i y i

Esse y i   é a distância dos centros de massa de cada barra ao eixo de rotação

Como M o b j e t o = 2 m

2 m y C M = m L 2 + m L

Então a posição do centro de massa é:

y C M = 3 4 L

Logo,

h = 3 4 L

Passo 4

Agora, vamos decobrir o I o b j e t o :

Maravilha, então o momento de inércia é:

I o b j e t o = I 2 + I 3

O momento da barra que gira em torno de um eixo que passa pela sua extremidade vale m L 2 3 .

Já o momento da barra que está distante do eixo de L , vale m L 2 . Então:

I o b j e t o = m L 2 3 + m L 2 = 4 m L 2 3

Maravilha!

Passo 5

Agora é só voltar na equação do ω e substituir o que descobrimos:

ω 2 = 4 m g h I o b j e t o

ω 2 = 4 m g 3 4 L 4 m L 2 3

Ajeitando isso daí:

ω 2 = 9 g 4 L

Então:

ω = 3 2 g L

Resposta

Alternativa B

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