Uma esfera sólida sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a θ em relação a horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de v 0 . Seu momento de inércia em relação ao seu centro de massa é I = 2 5 M R 2 .

  1. Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?
  2. Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?
  3. A resposta do item b depende da massa da esfera? Comente.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos fala sobre uma esfera que sobe em um plano inclinado e que, na base desse plano, o centro de massa da esfera possui uma velocidade v 0 .

Dito isso, a questão nos faz 3 perguntas que relacionam esse movimento da esfera com a energia cinética, a distância que ela vai percorrer ao subir o plano e a relação entre a distância e a massa da esfera.

Eita que ficou confuso né?? Calma calma!!

Temos que ter em mente que podemos solucionar essa questão com a conservação da energia, em que a somatória da energia mecânica é zero!!

Ainda ficou na dúvida? Então bora junto!!

Passo 2

Bom... vamos começar pela letra a):

Como a esfera está rolando, existem duas energias cinéticas associadas ao sistema, uma de translação ( K t r a n s ) e uma de rotação ( K r o t ) .

Dessa forma, temos para a energia cinética total:

K = K r o t + K t r a n s

Onde, pela definição da energia cinética K ' = m v 2 2 , temos:

K = I ω 2 2 + M v 0 2 2

Passo 3

Como ω = v 0 R , temos:

K = I v 0 2 2 R 2 + M v 0 2 2 ∴

Substituindo I = 2 5 M R 2 :

K = M v 0 2 5 + M v 0 2 2 ∴

K = 7 M v 0 2 10

Passo 4

Agora, na letra b):

Pela Lei da Conservação da Energia Mecânica, temos:

E i n i c i a l = E f i n a l

Onde a energia inicial é a energia cinética (pois a bolinha está movimentando) e a energia final é a energia potencial (pois a bolinha para em uma certa altura H ).

Assim, temos:

7 M v 0 2 10 = M g H ∴

H = 7 v 0 2 10 g

Passo 5

Por fim, na letra c):

Analisando a resposta da letra b), podemos concluir que não depende.

Podemos confirmar essa conclusão pois no resultado obtido vemos que o valor de H independe de M .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. K = 7 M v 0 2 10
  2. H = 7 v 0 2 10 g
  3. Não depende.

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