Duas polias com massas M A = 2 K g e M B = 4 K g estão acopladas através de uma correia C de massa desprezível, como mostra a figura ao lado. A polia A é acelerada a partir do repouso com aceleração angular α = 2   r a d / s 2 durante o tempo t   =   30   s e g u n d o s .

As polias têm raios R A = 20 c m e R B = 10 c m , respectivamente, e podem girar sem atrito.

O momento de inércia de uma polia é dado por I = M R 2 / 2 .

  1. Calcule as velocidades angulares das polias A e B no instante de tempo t = 30   s
  2. Obtenha a fração f = K A / K B entre as energias cinéticas das polias B e A , no instante de tempo t = 30   s .

Passo 1

Na polia A temos que a velocidade angular em função do tempo é dada por

ω A = ω A 0 + α t

Como as polias são aceleradas a partir do repouso temos que ω A 0 = 0 . Assim no instante t = 30 s

ω A 30 = 0 + 2 × 30

ω A 30 = 60   r a d / s

Passo 2

Como a correia não desliza, temos que a velocidade linear nas bordas das polias é igual, ou seja

v A = v B

E podemos relacionar essas velocidades lineares com as velocidades angulares por v = ω R .

Assim

ω A R A = ω B R B → ω B = ω A R A R B = 60 0,2 0,1

ω B = 120   r a d / s

Passo 3

A energia cinética de rotação é dada por

K = 1 2 I ω 2

De modo que a razão f fica

f = K A K B = 1 2 I A ω A 2 1 2 I B ω B 2 = 1 2 M A R A 2 2 ω A 2 1 2 M B R B 2 2 ω B 2 = M A R A 2 ω A 2 M B R B 2 ω B 2 = 2 × 0,2 2 × 60 2 4 × 0,1 2 × 120 2

f = 1 2

Resposta

(A) ω A = 60   r a d / s e ω B = 120   r a d / s

(B) f = 1 2

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