Um sistema composto por uma haste delgada de massa M = 1,20   k g e comprimento L = 0,500   m e um aro fino de raio R desconhecido e mesma massa M é livre para girar em torno do eixo z . Determine, fornecendo as respostas com o número de algarismos significativos adequado:

a) O valor de R que faz o momento de inércia do aro ser igual ao momento de inércia da haste.

b) Determine a aceleração angular necessária para levar o sistema do repouso até que um ponto na extremidade da haste possua velocidade tangencial v = 50,0   m / s em 8,00   s

c) Suponha agora que o momento de inércia do conjunto seja I z = 5,00 × 10 - 2   k g ⋅ m 2 e que ele gire com velocidade angular 1,91 × 10 3   r p m . Determine o trabalho necessário para levar o sistema ao repouso completo

d) Se o eixo de rotação for movido paralelamente até a extremidade da haste qual o novo momento de inércia do conjunto neste novo eixo?

Dados:

I a r o = M R 2

I h a s t e = 1 12 M L 2

Passo 1

a)

O momento de inércia do aro é dado por

I a r o = M R 2

E o momento de inércia da haste é dada por

I h a s t e = 1 12 M L 2

Onde a massa da haste é igual a massa do aro, como disse o enunciado.

Queremos que os dois momentos sejam iguais

I a r o = I h a s t e → M R 2 = 1 12 M L 2

R = L 12 = 0,500 12

R = 0,144   m

Passo 2

b)

Um ponto da extremidade da haste executa um movimento circular de raio L / 2 . Podemos relacionar o raio desse movimento circular com a velocidade angular e a velocidade linear por

v 0 = ω 0 r = ω 0 L 2

A frequência inicial então será

ω 0 = 2 v 0 L = 2 × 50 0,500

ω 0 = 200   r a d / s

Passo 3

A função horária da velocidade angular é dada por

ω t = ω 0 + α t

Como queremos ω t = 0 para t = 8 s

0 = ω 0 + α t

α = - ω 0 t = - 200 8

α = 25,0   r a d / s 2

Passo 4

c)

A energia cinética de um sistema rotacionando é dada por

K = 1 2 I ω 2

A frequência angular se relaciona com a frequência por

ω = 2 π f

Assim

K = 1 2 I 2 π f 2

O enunciado deu f em r p m mas precisamos dela em H z . Pra isso

60   r p m - - - 1 H z

1,91 × 10 3 r p m - - - f

f = 1,91 × 10 3 60

f = 3 1 , 8 3   H z

Inicialmente essa energia cinética é dada por

K i = 1 2 I ω 2 = 1 2 5,00 × 10 - 2 × 2 π × 31,83 2

K i = 10 3   J

Já quando o conjunto está em repouso a sua energia é nula

K f = 0   J

Pelo teorema trabalho energia cinética

W = Δ K = K f - K i = 0 - 10 3

W = - 1,00 × 10 3 J

Passo 5

d)

O conjunto todo tem massa 2 M . O momento de inércia no novo eixo é dado pelo teorema dos eixos paralelos onde deslocamos uma distância L / 2

I = I z + 2 M L 2 2 = I z + M L 2 2 = 5,00 × 10 - 2 + 1,20 × 0,500 2 2

I = 0,200   k g ⋅ m 2

Resposta

a)

R = 0,144   m

b) α = 25,0   r a d / s 2

c) W = - 1,00 × 10 3 J

d) I = 0,200   k g ⋅ m 2

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