O sistema da figura ao lado é constituído por uma barra homogênea de comprimento R , e massa m , e um anel de raio R e massa m . Este anel está fixo em uma das extremidades da barra e a outra extremidade pode girar em torno de um eixo de rotação horizontal. Inicialmente o sistema se encontra em repouso, com a barra e o anel em um plano horizontal. O objeto então é liberado e pode girar livremente, sem atrito, em torno do eixo (a figura mostra o objeto na parte mais baixa de sua trajetória)

a) Calcule o momento de inércia do objeto em relação ao eixo descrito (dados: momento de inércia da barra em torno de seu centro de massa = m L 2 / 12 , momento de inércia do anel com eixo de rotação ao redor de um diâmetro = m R 2 / 2 ).

b) Calcule a velocidade angular do objeto ao passar na parte mais baixa da trajetória (Lembre-se, quando a barra se encontra na horizontal o objeto esta em repouso).

Passo 1

O momento de inércia dessa coisa aí, vai ser a soma do momento de inércia da barra com o do anel:

I = I b a r r a + I a n e l

Então é só usar as fórmulas de momento de inércia que ele nos deu no enunciado??

Infelizmente não...

Isso porque o momento de inércia é sempre calculado com relação a um eixo de rotação. As fórmulas de momento estão com relação a um eixo que não é o eixo de rotação do problema.

Então, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I = I C M + m d 2

Passo 2

Vamos começar com a barra.

O momento de inércia dado na fórmula é com relação a um eixo passando pelo seu centro de massa:

I C M = m L 2 12

Então, para achar o I com relação ao eixo de rotação, basta achar a distância entre os eixos.

Nesse caso ela será igual a metade do comprimento da barra:

I = I C M + m d 2

I b a r r a = m L 2 12 + m L 2 2

I b a r r a = m L 2 1 12 + 1 4

I b a r r a = m L 2 3

Como o comprimento da barra L é igual a R , temos:

I b a r r a = m R 2 3

Passo 3

Vamos ao anel.

O momento de inércia dado na fórmula é com relação a um eixo passando pela direção de um diâmetro, ou seja, pode ser uma eixo assim:

I C M = m R 2 2

Como escolhemos um eixo que paralelo ao eixo de rotação e que passa pelo centro de massa do anel, podemos usar o teorema.

A distância entre os eixos será o comprimento da barra R mais o raio do anel R .

I = I C M + m d 2

I a n e l = m R 2 2 + m 2 R 2

I a n e l = m R 2 2 + 4 m R 2

I a n e l = 9 m R 2 2

Passo 4

O momento de inércia da coisa toda é:

I = I b a r r a + I a n e l

I = m R 2 3 + 9 m R 2 2

I = m R 2 1 3 + 9 2

I = 29 6 m R 2

Passo 5

Agora, queremos saber a velocidade angular do objeto quando ele passa na parte mais baixa de sua trajetória.

Como não há atrito, temos uma conservação da energia mecânica.

Inicialmente o corpo está em repouso com uma energia potencial gravitacional U 0 e no ponto mais baixo de sua trajetória, há apenas energia cinética de rotação K r o t .

E M i = E M f

U 0 = K r o t

Passo 6

A energia potencial gravitacional é dada com relação ao centro de gravidade do objeto.

Então, vamos achar esse ponto...

O centro de gravidade da barra (uniforme) está em seu meio e o do anel (uniforme) também está em seu centro:

Agora, podemos pensar em cada um deles como uma partícula nesses pontos e fazer uma média ponderada das suas posições:

r C M = r b m b + r a m a m b + m a

r C M = R 2 m + 2 R m m + m

r C M = 5 2 R m 2 m

r C M = 5 4 R

Então, o centro de gravidade do objeto será:

Então, se o objeto descer de um plano horizontal até ficar na vertical, ele descerá uma altura igual a essa distância do CM ao eixo de rotação:

Então, a energia potencial gravitacional inicial é:

U 0 = M g h

U 0 = 2 m g 5 R 4

U 0 = 5 m g R 2

Passo 7

Voltando à conservação de energia:

U 0 = K r o t

5 m g R 2 = I ω 2 2

5 m g R = I ω 2

Substiituindo o momento de inércia do objeto que achamos no item (a):

5 m g R = 29 6 m R 2 ω 2

ω 2 = 30 m g R 29 m R 2

ω 2 = 30 g 29 R

Assim, achamos que a velocidade angular no ponto mais baixo é:

ω = 30 g 29 R

Resposta

(a) I = 29 6 m R 2

(b) ω = 30 g 29 R

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