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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t  

onde t ≥ 0 .

Mostre que a curva C está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva C .

Passo 1

Oi, tá bem? Esse tipo de exercício tem um passo a passo, aí só seguir que dá bom. A gente precisa identificar que essa curva está dentro da equação de uma quádrica, e qual quádrica é.

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t

Dessa equação, a gente tira que

x = 3 t   s e n   t ,     y = 3 t cos ⁡ t ,     z = - t

Como a gente tem termos parecidos no x e no y , um com seno e outro com cosseno, a gente pode começar tentando calcular x 2 + y 2 , assim:

x 2 + y 2 = 3 t   s e n   t 2 + 3 t cos ⁡ t 2 = 9 t 2   s e n 2 t + 9 t 2 cos 2 ⁡ t

x 2 + y 2 = 9 t 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

Aí a gente lembra da identidade trigonométrica que diz s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 . E que z = - t ∴ t = - z . Aí nossa continha fica:

x 2 + y 2 = 9 t 2

x 2 + y 2 = 9 - z 2 ∴ x 2 + y 2 = 9 z 2

E isso é a equação de um cone, pois temos dois termos positivos quadráticos de um lado, e um termo do outro.

Passo 2

Agora a gente usa a informação de nossa curva dá dentro desse cone. Ele tem essa equação:

x 2 + y 2 = 9 z 2

Por isso, vai estar centrado em 0,0 , 0 , e o gráfico dele é:

Nossa curva está dentro dele. Mas repara que o enunciado diz que t ≥ 0 , e o nosso z é

z = - t

Isso significa que o z só vai assumir valores negativos. E se a gente derivar esse z :

z ' = - 1

Vemos que a taxa de variação dele é negativa, o que diz para gente que nossa curva vai estar descendo em relação ao eixo z .

Passo 3

Só falta a gente achar o ponto inicial dessa curva:

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t  

Como t ≥ 0 , ela começa em t = 0 :

r 0 = 0 ,   0 ,   0  

Ou seja, ela sai da origem. Vimos também que ela está descendo, e como temos o seno no x e o cosseno no y , em relação ao plano x y , ela vai se mover em uma circunferência no sentido horário.

Aí desenhando a curva com essas características, a gente acha:

Repara que a gente desenhou um fim ali para ela, mas na real ela vai para t → ∞ , porque ela está definida em t ≥ 0 . Então ela vai descendo indefinidamente.

Arrasamos!

Resposta

x 2 + y 2 = 9 z 2 , cone

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