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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

Dada a curva

γ t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Esboce a curva.

Passo 1

Olhando assim pra essa curva, não conseguimos ver de cara o que ela é. Mas observe que

x t 2 + y t 2 = t 2 cos ² ⁡ t + t 2 sen ² ⁡ t = t 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = t ²

Isso significa que os pontos da curva pertencem a circunferências cujos raios vão aumentando conforme t aumenta.

Beleza, mas até ai a gente ainda não consegue desenhar completamente essa curva.

Vamos tentar então substituir vários pontos e ver no que dá.

Passo 2

Para t = 0 :

γ 0 = 0 , 0

Para t = π 2 :

γ π 2 = 0 , π 2

Para t = π :

γ π = - π , 0

Para t = 3 π 2 :

γ 3 π 2 = 0 , - 3 π 2

Para t = 2 π :

γ 2 π = 2 π , 0

Assim, podemos plotar esses pontos e teremos

Passo 3

Agora só nos resta ligar esses pontos.

Beleza, mas como a gente faz essa ligação?

Lembra que lá no passo 1 a gente descobriu que os pontos da curva pertencem a circunferências, que tem seus raios aumentados a medida que t aumenta? Então! A gente vai ligar esses pontos através de circunferências. Assim

Resposta

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