7. Esboce o gráfico das seguintes funções:

e) f x = x - 1 x 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter um esboço do gráfico da função f x = x - 1 x 2 .

Parece de boa, não é? 😁

Pra essa tarefa, podemos usar algumas artimanhas para nos ajudar, por exemplo encontrar os pontos da curva que cortam o eixo x e o eixo y .

Podemos também encontrar a derivada da função e descobrir em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é crescente.

Vamos ver o que podemos fazer nesse caso! 👀

Passo 2

Primeiro, podemos perceber que em x = 0 a função não é definida, portanto ela não corta o eixo y .

Agora igualando f x a 0 , podemos obter onde a função corta o eixo x

x - 1 x 2 = 0 → x = 1

Assim, vemos que a função corta o eixo x em x = 1

Como a função possui uma descontinuidade, então vamos ver como ela se comporta nesse ponto.

lim x → 0 ⁡ x - 1 x 2 → lim x → 0 + ⁡ x - 1 x 2 lim x → 0 - ⁡ x - 1 x 2

Se x se aproxima de 0 para valores um pouco maiores o denominador tende a 0 sempre com sinal positivo, ou seja

lim x → 0 + ⁡ x - 1 x 2 = - 1 0 = - ∞

Já se x se aproxima de 0 mas com valores um pouco menores o denominador tende a 0 também com valores positivos, ou seja

lim x → 0 - ⁡ x - 1 x 2 = - 1 0 = - ∞

Assim, vemos que a função possui uma assíntota vertical em x = 0 onde tanto pela direita quanto pela esquerda a função tende a - ∞ .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos ver como a função se comporta em x muito grande em modulo

lim x → ± ∞ ⁡ x - 1 x 2

Dividindo tudo por x 2 ...

lim x → ± ∞ ⁡ x x 2 - 1 x 2 x 2 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 x - 1 x 2 1

Assim, quando aplicamos o limite, perceba que os termos 1 / x e 1 / x 2 tendem a 0 , então

lim x → ± ∞ ⁡ x - 1 x 2 = 0

Portanto, temos outra assíntota, dessa vez horizontal em y = 0 .

Condensando essas informações em um gráfico, temos

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

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9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n 4 theta
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2s e nθ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a