Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

USP, Cálculo 2, P1 - 2013, Questão 3a

Esboce a imagem das seguinte curva plana:

γ t = ln t 2 + 1 ,   t 2 + 3   t R

Passo 1

Vamos encontrar a equação cartesiana dessa parametrização?

Se a função é

γ t = ln t 2 + 1 ,   t 2 + 3

Então podemos dizer que

x t = ln t 2 + 1 y t = t 2 + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que encontrar uma relação entre ln t 2 + 1 e t 2 + 3 . Bom, antes de mais nada, é bom começar tirando esse logarítmo da jogada.

Como sabemos, e ln t = t . De maneira parecida, se temos

x t = ln t 2 + 1

Então podemos dizer que

e x t = t 2 + 1

Não ficou muito parecido com a expressão para y t ? A única diferença é que y t =   t 2 + 3 . Assim, podemos fazer que

e x t + 2 = t 2 + 1 + 2 = t 2 + 3

Como t 2 + 3 = y t , temos:

y t = e x t + 2

Passo 3

Pronto!! Conseguimos uma relação entre x e y . Agora é só esboçar a curva e x e deslocá-la em 2 no sentido positivo do eixo y ! A única restrição que temos é que x não pode ser menor que 0 ! Pois a função ln t 2 + 1 é sempre maior que 0 (pois o t está ao quadrado). Assim, nosso gráfico é:

Resposta

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