14. Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados).

a) f x = 2 x 2 + x - 6 , D f = - 3,3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema estamos interessados em esboçar a curva f x dentro de um intervalo D f e determinar os pontos de máximos e de mínimos da função.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para obter o gráfico da função, podemos obter alguns pontos da função e estimar o comportamento dela dentro dos intervalos dos pontos.

Já para obter os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada de f e igualar a 0 , assim, os pontos que satisfazerem a igualdade serão os pontos extremos. Mas caso eles não estejam no intervalo do domínio verificamos como f ' se comporta.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos determinar a imagem de f em x = - 3 , x = - 1 , x = 0 , x = 2 e em x = 3 .

Para x = - 3

f - 3 = 2 - 3 2 + - 3 - 6 = 9

Para x = - 1

f - 1 = 2 - 1 2 + - 1 - 6 = - 5

Para x = 0

f 0 = 2 0 2 + 0 - 6 = - 6

Para x = 2

f 2 = 2 2 2 + 2 - 6 = 4

E para x = 3

f 3 = 2 3 2 + 3 - 6 = 15

Plotando esses pontos no plano cartesiano e estimando o comportamento de f entre eles, temos algo mais ou menos como

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para reforçar isso que acabamos de obter, vamos calcular a derivada de f

Pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 4 x + 1

Igualando a 0 ...

4 x + 1 = 0 → x = - 1 4

Portanto, f tem um único ponto crítico e está em x = - 1 4 .

Substituindo em f x

f - 1 4 = 2 - 1 4 2 + - 1 4 - 6 = - 49 8

Portanto, em x = - 1 4 a função atinge seu menor valor dentro do domínio.

Analisando f ' x , vemos que para x < - 1 4 , f x é decrescente e para x > - 1 4 , f x é crescente. Logo, o ponto máximo será nos extremos de f no domínio.

Pelo que calculamos f - 3 < f 3 , portanto, x = 3 é o ponto de máximo!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x = - 1 4 é o ponto de mínimo.

x = 3 é o ponto de máximo.

Exercícios de Livros Relacionados

9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2s e nθ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a