Faça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:

(a) t → sin ⁡ 2 t , cot ⁡ 2 t ,   t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva paramétrica e indicar sua orientação.

Pra isso, vamos transformar nosso vetor em uma equação cartesiana, usando as funções trigonométricas que ele nos deu. Assim, vamos conseguir identificar a forma da curva dada pelas equações paramétrica e plotá-la no gráfico cartesiano.

Vamos lá!

Passo 2

Lembra lá das coordenadas polares que tínhamos:

x t = sin ⁡ ( t ) y t = cos ⁡ ( t ) ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Pois bem, a única coisa que muda agora é o argumento das funções trigonométricas dadas em sin ⁡ 2 t , cot ⁡ 2 t ,   t ∈ [ 0 ,   2 π ] . Assim, temos:

x t = sin ⁡ ( 2 t ) y t = cos ⁡ ( 2 t ) ,     0 ≤ t ≤ 2 π

A partir disso, usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ ( 2 t ) + cos 2 ⁡ ( 2 t ) = 1 , temos:

x 2 t + y 2 t = 1

Perceba que essa é a equação de uma circunferência de raio 1 , então podemos plotar nossa curva assim:

Pra definir a orientação da curva, precisamos perceber que o nosso intervalo vai de t = 0 até t = 2 π . Então, substituindo esses extremos na equação paramétrica, temos:

Então, nossa curva do ponto ( 0 ,   1 ) até o ponto ( 0 ,   1 ) e podemos dizer que a nossa curva tem orientação positiva no sentido anti-horário.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E s b o ç o   n o s   p a s s o s

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9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n 4 theta
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2s e nθ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a