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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

Seja ℧   a interseção das regiões A = x ,   y ,   z ; x 2 + y 2 ≤ 1 ,   B = x , y , z ; z ≥ 0   e   C = x , y , z ; z ≥ x 2 + y 2 .

a) As fronteiras de A ,   B   e   C ,   respectivamente, são superfícies quádricas, identifique cada uma delas.

b)Faça um esboço da região ℧ .

Passo 1

Identificando primeiramente A = x ,   y ,   z ; x 2 + y 2 ≤ 1 .

Se você for observar, essa é uma função que está escrita em função de x, y e z, certo? Isso nos indica ser no 3D, no entanto, se você for observar, temos nela somente x e y, certo? Então vamos plotar no plano xy mesmo.

A função x 2 + y 2 = 1   é uma muuuuito comum da gente trabalhar. Por isso vou te pedir pra você guardar ela no coração e lembrar que é um circulo bonitinho, tranquilo?

Bom, mas isso está no 2D, e agora? Bom, se na função não aparece a letra z, imagina que esse nosso desenho vá ser “esticado” na direção do eixo que eu n tenho. Daí vou ter isso:

Pra concluir, observa ainda que temos x 2 + y 2 ≤ 1 . Esse nos indica que estamos trabalhando em valor menos que esse raio 1. Ou seja, a área trabalhada é a de DENTRO do cilindro. Tranquilo? Vem comigo pra essa próxima aqui então.

Passo 2

A fronteira de B = x , y , z ; z ≥ 0 é pra mim a mais simples, onde estamos trabalhando simplesmente com valores acima do plano z = 0

No desenho só destaquei pra gente o plano z=0. Ou seja, o plano onde todos os valores de z sempre vão ser zero, tranquilo? Só que nossa função é z ≥ 0 , ou seja, queremos então sempre z positivo! Logo, queremos tudo o que está acima desse plano....

Passo 3

Para a região C   temos   C = x , y , z ; z ≥ x 2 + y 2 .

Para essa função podemos reescrever como z 2 = x 2 + y 2 quando elevamos os dois lado da função ao quadrado. Logo, temos uma circunferência no eixo xy (lembra do x 2 + y 2 ?   olha ele seguindo a gente aí de novo). Dessa vez, o raio não é contante, ou seja, não é x 2 + y 2 = 1 ,   por exemplo. Agora temos x 2 + y 2 = z , ou seja, o raio dessa circunferência do plano xy varia conforme a variação de z. Quanto maior o z, maior o raio. Então ele vai crescendo o raio junto com o z, o que nos dá:

Passo 4

Esboçando então a região temos:

Onde a região estudada está acima do plano verde, dentro do cilindro e dentro do cone invertido.

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