Determine:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1   - x ;

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora lá começar essa provinha de cálculo.

Logo na primeira questão já temos que calcular um limite, porém, veja que não podemos apenas aplicar o valor de x na questão de forma direta, pois não conseguimos chegar em nenhum valor fazendo isso.

Isso ocorre pois temos termos do tipo x e x 2 , quando colocamos x indo para infinito isso não vai nos retornar um número, porém, uma ideia muito legal quando se tem x → + ∞ é fazer aparecer frações do tipo 1 x , pois nesse caso, quando x vai para infinito a fração vai para zero.

Ou seja, nosso objetivo será forçar aparecer valores de x no denominador para aplicarmos o limite.

Passo 2

Para fazermos aparecer denominadores nessa expressão, podemos usar uma ideia muito comum quando temos coisas do tipo a ± b , a ideia será racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar tudo por a ∓ b a ∓ b . Bora lá:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1   - x = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1   - x x 2 - 1   + x x 2 - 1   + x

A grande motivação de fazer isso é aparecer a seguinte fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

Usando isso: = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x 2 x 2 - 1   + x  

Ou seja:

= lim x → + ∞ ⁡ - x x 2 - 1   + x

Agora podemos usar a ideia falada no passo 1.

Passo 3

Veja que basta fazermos aparecer coisas do tipo 1 x , ou seja, podemos colocar x em evidencia no denominador, ficando:

lim x → + ∞ ⁡ - x x 2 - 1   + x = lim x → + ∞ ⁡ - x x 1 - 1 x 2   + 1

Podemos simplificar, ficando:

= lim x → + ∞ ⁡ - 1 1 - 1 x 2   + 1

E agora a gente fica feliz, pois podemos só aplicar o limite usando que 1 x 2 → 0

Ficamos com:

= lim x → + ∞ ⁡ - 1 1 - 1 x 2   + 1 = - 1 1   + 1 = - 1 2

E assim chegamos ao fim do primeiro probleminha dessa prova, deixando uma ideia muito importante para se ter, quando se tem coisas com raiz, em geral, racionalizar ajuda muito. Bora para o próximo?

Resposta

- 1 2

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.