11a) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                             s e   x =   - 3 - 1 2                       s e   x =   - 1

A função f está definida em R ?

Passo 1

Fala pessoal!!

Antes de tudo, o que será que significa dizer que uma função está definida em R ?

Bom, significa que para qualquer x ∈ R , existe f ( x ) . Ou seja, não há nenhum ponto dos Reais no qual a função tenha alguma indeterminação matemática, ou não possua um valor finito.

Passo 2

Massa! Agora que já sabemos disso, como analisar se f está definida em todos os pontos dos Reais?

Precisamos analisar a sua lei de formação.

Para x ≠ - 3   e x ≠ - 1 , vemos que f   é definida por uma divisão de dois polinômios.

Os polinômios, separadamente, são definidos em R . O único problema é que, como se trata de uma divisão e não podemos dividir por zero, precisamos analisar onde estão as raízes reais de p x = x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3

Aqui precisamos ser um pouco malandros, porque não é à toa que a função é definida de forma diferente em x =   - 3 e x =   - 1 .

Bora testar se esses valores são raízes de p ( x ) , aposto que vai ser hein!

p - 1 =   - 1 3 + 5 - 1 2 + 7 - 1 + 3 = - 8 + 8 = 0

p - 3 =   - 3 3 + 5 - 3 2 + 7 - 3 + 3 =   - 27 + 45 - 21 + 3 =   - 48 + 48 = 0

Ótimo! Os dois valores são mesmo raízes do polinômio, podemos agora fatorar p x e descobrir a terceira raiz:

p x = x + 3 x + 1 x - x 3 = x 2 + 4 x + 3 x - x 3 = x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 → x 3 =   - 1

Ou seja, x =   - 1 é raiz dupla de p ( x ) .

Passo 3

Perfeito então. Porque os únicos valores que poderiam zerar o denominador e trazer indeterminação pra algum ponto de f são justamente os pontos que estão definidos separadamente na lei de formação.

É tudo feito pra dar certo, gente! 😊

Prontinho, f está definida em R .

Resposta

Sim, f está definida em R .

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.