08) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x 3 + 8

Passo 1

Bora matar mais um limite pessoal!!

Primeiramente, precisamos testar se já dá pra resolver o limite substituindo x =   - 2 . Daí:

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x 3 + 8 = 0 0

Uma indeterminação matemática ☹

Vamos pensar em algum jeito de tirar essa indeterminação.

Passo 2

Essa questão é difícil, mas vamos dar um passo de cada vez.

O problema da indeterminação está nesse x 3 + 8 do denominador, ainda não dá pra ver como retirá-lo daí. A ideia geral nesse tipo de problema é fatorar tanto o numerador como o denominador.

Vamos fatorar o denominador para ver se surge algo que nos ajude.

Como x =   - 2 é raiz, temos:

x 3 + 8 = x + 2 x 2 - 2 x + 4                   ( I )

Beleza, até melhorou um pouco, porque agora basta conseguir tirar esse ( x + 2 ) da jogada pra retirar a indeterminação. Mas ainda não tá dando pra ver como fazer isso né?! Então bora fatorar o numerador.

Já vou pedindo desculpas, mas agora precisamos mesmo usar um produto notável bem bem esquecido:

a 3 + b 3 = a + b ⋅ a 2 - a b + b 2

Temos que ter muita atenção pra conseguir entender essa parte. A ideia é fazer aparecer   ( x + 2 ) no numerador. Então olha, vamos chamar:

x - 6 3 = a

2 = b

Bora usar o nosso produto notável:

x - 6 1 3 + 2 ⋅ x - 6 2 3 - x - 6 1 3 ⋅ 2 + 2 2 = x - 6 3 3 + 2 3 = x + 2

Então, reescrevendo:

x - 6 3 + 2 = x + 2 x - 6 2 3 - x - 6 1 3 ⋅ 2 + 2 2                 ( I I )

Apareceu o x + 2 !

Passo 3

Agora já melhorou um pouco, pois usando as equações ( I ) e ( I I ) podemos reescrever a expressão do limite:

x - 6 3 + 2 x 3 + 8 =   x + 2 x - 6 2 3 - x - 6 1 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 1 x + 2 x 2 - 2 x + 4

Cancelando o famoso ( x + 2 ) , chegamos a:

x - 6 3 + 2 x 3 + 8 =   1 x - 6 2 3 - x - 6 1 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 1 x 2 - 2 x + 4  

Passo 4

Pronto, finalmente podemos calcular o limite usando a nossa nova expressão:

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x 3 + 8 = lim x → - 2 ⁡ 1 x - 6 2 3 - x - 6 1 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 1 x 2 - 2 x + 4

Fazendo x =   - 2 , vamos ter que:

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x 3 + 8 =   1 - 2 - 6 2 3 - - 2 - 6 1 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 1 - 2 2 - 2 ⋅ - 2 + 4 = 1 144

Nossa, essa foi difícil! Mas conseguimos! O bizu é sempre seguir a ideia de fatorar numerador e denominador, em alguns casos vai ser mais difícil saber qual fatoração usar, mas se você fatorar certo a questão vai sair!

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x 3 + 8 = 1 144

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.