Calcule, caso existam, os seguintes limites:

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x  

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x  

Para isso, não podemos simplesmente substituir x por 1 pois haverá uma indeterminação (divisão por zero).

Assim, temos que aplicar a Regra de L’Hospital, ou seja, devemos derivar o numerador e o denominador para assim prosseguir com o limite!!

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar primeiramente o numerador:

x 2 ' = 2 x

Agora, derivando o denominador utilizando a regra do produto, temos:

1 - cos ⁡ x ' = d d x 1 - d d x cos ⁡ x ∴

1 - cos ⁡ x ' = 0 - - sin ⁡ x ∴

1 - cos ⁡ x ' = sin ⁡ x

Agora vamos aplicar no limite!!

Passo 3

Assim, temos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x

Ainda continuamos com a indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, podemos aplicar L’Hospital novamente!!

Derivando o numerador e denominador, encontraremos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x

Aplicando o limite, temos:

= 2 cos ⁡ 0 ∴

= 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x   = 2

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.