Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 1.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x - ( x n - x n - 1 )  

Obs: considere n N

Passo 1

Pra fazer essa análise, os segredos estão em um detalhe: abrir o termo do limite da seguinte forma,

x n - x n - 1 = ( x . x n - 1 - 1 . x n - 1 ) = x - 1 x n - 1

lim x - ( x n - x n - 1 )   = lim x - x - 1 x n - 1

Tendo ainda, pela propriedade do produto:

lim x - x - 1 x n - 1 = lim x - x - 1 lim x - x n - 1

Agora, basta a gente analisar os sinais dos “infinitos”. Lembrando que para o limite de x - 1 quando x - , temos um polinômio de grau ímpar, que sempre irá explodir para - , ou seja:

lim x - x - 1 = -

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o resultado dependerá do grau de n ser par ou ímpar, vamos achar um resultado para cada tipo de n . Não entendeu? Vem comigo!

Para n ímpar, teremos n - 1 par.

n   í m p a r x n - 1 +       ,   s e   x -

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau par, fica:

lim x - ( x n - x n - 1 )   = lim x - x - 1 x n - 1

= lim x - x - 1 lim x - x n - 1 = -

= -

Passo 3

Para n par, teremos n - 1 ímpar.

n   p a r x n - 1 -       ,   s e   x -

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau ímpar, fica:

lim x - ( x n - x n - 1 )   = lim x - x - 1 x n - 1

= lim x - x - 1 lim x - x n - 1 = - -

=

Passo 4

O único caso fora desses é o caso com n = 0 . Repara,

lim x - ( x 0 - x 0 - 1 ) = lim x - 1 - 1 x

= 1 - 0 = 1

Passo 5

Vamos analisar agora o caso com n = 1 . Voltando lá no nosso limite:

lim x - ( x n - x n - 1 )  

Também podemos escrever ele assim:

lim x - x n 1 - 1 x  

E no caso de n = 1 :

lim x - x n 1 - 1 x   = lim x - x 1 - 1 x   = - 1 - 0 = -

Resposta

n   í m p a r   ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   = -

n   p a r   ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   =

n = 0   ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   = 1

n = 1 ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   = -

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