Calcule os limites abaixo:

n)

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x

Antes de começarmos, vamos dar uma simplificadinha naquele x 2 , certinho? Se liga:

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x = lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x

Agora sim hehe.

Seguinte... se fizermos x = 0 no limite, teremos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Nesse sentido, podemos aplicar L’Hopital!!

Em outras palavras, vamos pegar o numerador e o denominador da expressão e derivarmos em relação a x .

Depois basta substituirmos no limite e resolvê-lo!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... Primeiramente derivando o numerador, temos:

x 4 + 1 4 - x 2 + 1 ' = x 4 + 1 4 ' - x 2 + 1 ' ∴

x 4 + 1 4 - x 2 + 1 ' = x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1

E, derivando o denominador, temos:

x ' = 1

Assim, substituindo no limite, encontramos:

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x = lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1

Fazendo x → 0 , temos:

lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1 = 0 3 0 4 + 1 3 4 - 0 0 2 + 1 ∴

lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1 = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x = 0

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.